이와 같은 5개의 몸무게 자료를 대표할 만한 값으로 많이 쓰이는 것이 평균이다. 평균은 모든 자료를 더한 후 이를 자료의 수로 나눈 것인데 자료의 무게중심을 의미한다. 평균은 \(\mu\)(뮤라 읽음)로 표시하는데 (자료 4.1)은 평균은 다음과 같이 구한다. $$ \text{평균} = \mu = \frac{63 + 60 + 65 + 55 + 77}{5} = \frac{320}{5} = 64 $$

\(n\)개의 자료를 \(x_1 , x_2 , ... , x_n \)으로 표시하였을 때 평균은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. $$ \small \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$

일반적으로 평균은 자료를 대표하는 값으로 매우 적절하지만 자료 중에 매우 큰 값이나 작은 값이 있을 때는 이 값에 영향을 많이 받는다. 이러한 경우 중앙값이 이용된다. 중앙값은 자료를 순서대로 정렬하였을 때 그 중앙에 있는 값을 의미한다. (자료 4.1)에서는 홀수인 5개의 자료가 있어 그 중앙인 3번째(\(\frac{n+1}{2}\)번째) 자료가 중앙값으로 다음과 같이 구한다.

만일 자료가 6개인 짝수인 경우 중앙값은 어떻게 구할까? 이 경우 자료의 중앙값은 정렬된 자료의 3번째(\(\frac{n}{2}\)번째)와 4번째(\(\frac{n+2}{2}\)번째)의 평균으로 계산한다.

일반적으로 중앙값은 \(m\)으로 표시하고 구하는 방법은 다음과 같다.

1) 자료를 오름차순으로 정렬한다.
2) 자료수가 홀수 개인지 짝수 개인지 확인한다.
3) 자료가 홀수 개이면 중앙값 \(m\) = (\(\frac{n+1}{2}\))번째 자료
    자료가 짝수 개이면 중앙값 \(m\) = (\(\frac{n}{2}\))번째와 (\(\frac{n+2}{2}\))번째 자료의 평균

위와 같은 몸무게 자료의 전반적인 분포를 보기위해서는 앞에서 살펴본 줄기와 잎 그림이나 히스토그램을 생각할 수 있지만 자료를 대표하는 값을 살펴보기에는 점그래프가 적절하다. 점그래프는 자료의 최솟값과 최댓값을 구한 후 가로축 상에 이 값들을 먼저 표시하고, 각각의 자료를 최솟값과 최댓값에 비례한 위치를 계산하여 점으로 표시한 것이다.

<그림 4.1>은 (자료 4.1)에 대한 점그래프이다. 최솟값 55와 최댓값 76에 비례해서 각각의 자료를 동그란 점으로 표시한 것이다. 초록색 선이 평균 이고 빨강 선이 중앙값 이다. 이 자료에서는 평균이 중앙값보다 약간 우측에 위치해 있는데 그 이유는 자료 중에서 77이 나머지 네 개의 자료보다느 오른쪽에 위치해 있기 때문이다. 즉 평균은 중앙값보다 극단값에 민감하다.

자료가 많을 경우 위와 같이 수작업으로 평균과 중앙값을 구하는 것은 시간도 많이 걸리고 쉽지 않다. 『eStat』소프트웨어를 이용하여 자료의 대푯값을 구해보자.

원 자료가 아니라 도수분포표가 주어졌을 때 평균은 중간값을 이용해 근사적으로 다음과 같이 구할 수 있다.

먼저 각 계급의 중간값을 구한다. 그리고 각 계급에 도수만큼 중간값이 있다고 생각하고 이 근사 자료를 이용하여 평균을 구한다.

즉, 평균은 다음과 같다. $$ \small \begin{align} \text{평균} &= \frac{65+65+75+75+75+75+75+85+85+85+85+85+85+85+85+85+85+95+95+95}{20} \\ &= \frac{65 \times 2 + 75 \times 5 + 85 \times 10 + 95 \times 3} {20} \\ &= \frac{1640}{20} = 82 \end{align} $$

자료들이 흩어져 있는 정도를 산포도라 부른다. 산포도의 간단한 측정 방법은 최댓값에서 최솟값을 뺀 범위이다. $$ \text{범위} = \text{최댓값 - 최솟값} $$ (자료 4.1)에서 최댓값은 77이고 최소값은 55이므로 범위는 22이다. $$ \text{범위} = \text{77 - 55 = 22} $$

이러한 범위는 극단값에 너무 민감하기 때문에 산포도의 측정에는 일반적으로 분산 또는 표준편차를 많이 이용한다. 분산은 각 자료값과 평균과의 거리를 제곱하여 합을 구한 후 이를 자료의 수로 나눈 것이다. 따라서 자료가 평균을 중심으로 많이 흩어져 있으면 분산이 커지고, 자료가 평균주위에 몰려 있으면 분산이 작게 된다. 분산은 \(\sigma^2\)(시그마 제곱으로 읽음)으로 표시한다.

(자료 4.2)에서 평균은 다음과 같다. $$ \text{평균} \quad \mu ~=~ \frac{6+8+7++4+10}{5} ~=~ \frac{35}{5} ~=~ 7 $$

분산은 평균에서 각 측정값까지의 거리를 제곱하여 합을 구한 후 그 평균을 구한 것이다. 즉, 거리제곱의 평균이다. $$ \begin{align} \text{분산} \quad \sigma^{2} &~=~ \frac{ (6-7)^2 + (8-7)^2 + (7-7)^2 + (4-7)^2 + (10-7)^2} {5} \\ &~=~ \frac{20}{5} ~=~ 4 \end{align} $$ \(n\) 개의 자료를 \(x_1 , x_2 , ... , x_n\)으로 표시하고 평균을 \(\mu\)로 표시하였을 때 분산은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. $$ \begin{align} \text{분산} \quad \sigma^{2} ~=~ { {1 \over n} {\sum _{i=1} ^{n} (x_{i} - \mu )^{2}} } ~~~~ (n:~자료수) \\ \end{align} $$

표준편차는 분산의 제곱근으로 정의하고 \(\sigma\)로 표시한다. 분산은 제곱거리의 평균이어서 현실적인 해석이 쉽지 않으나 표준편차는 분산의 제곱근이어서 각 값과 평균과의 평균거리의 측도로 해석이 가능하다. $$ \text{표준편차} \quad \sigma ~=~ \sqrt{\sigma^2} \\ $$ (자료 4.2)의 표본표준편차는 \(\sigma\) = \(\sqrt{\sigma^2}\) = \(\sqrt{4}\) = 2 이다.

앞 절에서 원 자료가 아니라 도수분포표가 주어졌을 때 평균을 중간값을 이용해 근사적으로 구하였다. 표준편차도 유사한 방법으로 구한다.

먼저 각 계급의 중간값을 구한다. 그리고 각 계급에 도수만큼 중간값이 있다고 생각하고 이 근사 자료를 이용하여 평균을 구한다.

즉 평균은 다음과 같다. $$ \text{평균} ~=~ \frac{65 \times 2 + 75 \times 5 + 85 \times 10 + 95 \times 3} {20} ~=~ \frac{1640}{20} ~=~ 82 $$

분산과 표준편차도 유사한 방법으로 구한다. $$ \small \begin{align} &\text{분산} \qquad \qquad \sigma^2 ~=~ \frac{(65-82)^2 \times 2 + (75-82)^2 \times 5 + (85-82)^2 \times 10 + (95-82)^2 \times 3} {20} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad ~=~ \frac{1420}{20} ~=~ 71 \\ &\text{표준편차} \qquad \sigma ~=~ \sqrt{\sigma^2} ~=~ \sqrt{71} ~=~ 8.43 \end{align} $$

『eStatM』의 ‘도수분포다각형 – 상대도수 비교’를 이용하면 도수분포표의 근사적인 평균과 표준편차를 <그림 4.11>과 같이 구할 수 있다. <그림 4.6>과 같이 계급구간의 왼쪽값과 도수1을 입력한 후 [실행] 버튼을 누르면 된다.

한 변량에서 산포도의 측도로 분산이 이용되듯이 두 변량에서는 다음과 같은 공분산이 이용된다. \(n\)개의 x, y 자료를 \( (x_1 , y_1 ), (x_2 , y_2 ), ... , (x_n , y_n ) \)으로 표시하고 평균을 \( (\mu_x , \mu_y )\)로 표시하였을 때 공분산 \(\sigma_{xy}\)는 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. $$ \text{공분산} \quad \sigma_{xy} ~ =~ \frac{1}{n} \sum _{i=1} ^{n} (x_{i} - \mu_x ) (y_{i} - u_y ) \qquad (n:\text{자료수} ) $$

공분산은 평면의 평균점 에서 각각의 점들사이의 x축거리와 y축 거리를 곱한값들의 전체 평균을 의미한다. 따라서 평균점을 중심으로 오른쪽 위와 왼쪽 아래에 점이 많으면 공분산은 양의 값을 가져 양의 상관관계를 알 수 있다. 평균점을 중심으로 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 점이 많으면 공분산은 음의 값을 가져 음의 상관관계를 알 수 있다. 하지만 공분산은 자료의 단위에 따라 값이 많이 커질 수 있으므로 상관관계의 측도로는 다음과 같은 상관계수 \(\rho\)가 이용된다. $$ \text{상관계수} \quad \rho ~ =~ \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} $$

상관계수는 공분산의 변형으로 –1에서 +1 사이의 값만 가질 수 있다. 상관계수가 +1에 가까우면 두 변량이 강한 양의 상관관계 있다고 하고, -1에 가까우면 강한 음의 상관관계가 있다고 한다. 상관계수가 0에 가까우면 두 변량 사이에는 상관관계가 없다.

『eStatM』을 이용하면 여러 가지 상관계수에 대한 자료의 형태를 살펴볼 수 있다.