이 장에서는 두 모집단 모수를 비교하는 가설검정에 대하여 설명한다.
- 두 모평균 가설검정 :
독립표본인 경우와 대응비교인 경우
- 두 모분산 가설검정
- 두 모비율 가설검정
두 모집단의 평균을 비교하는 예들은 우리 주변에 아주 많이 있다.
이와 같은 두 모집단의 평균(\(μ_1 , μ_2\))에 대한 비교는 모평균의 차 \(μ_1 - μ_2\) 가 0 보다 큰가, 작은가, 같은가 하는 가설을 검정함으로써 가능하다. 이러한 두 모평균의 비교는 각 모집단에서 추출된 표본들이 서로 독립적으로 추출되었을 경우와 아닌 경우(대응비교라 함)에 따라 검정방법이 다르다.
일반적으로 모평균에 대한 가설검정에서 대립가설의 형태는 크게 다음 세 가지이다.
1) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \)
\(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 > D_0 \)
2) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \)
\(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 < D_0 \)
3) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \)
\(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 \ne D_0 \)
여기서 \(D_0\)는 모평균 차이에 대한 값을 의미한다. 모집단에서 서로 독립적으로 표본을 추출하였을 때 모평균의 차 \( \mu_1 - \mu_2 \)의 추정량은 표본평균의 차 \(\small \overline X_1 - \overline X_2 \)이며, 모든 가능한 표본평균의 차는 표본이 충분히 클 경우 근사적으로 평균이 \( \mu_1 - \mu_2 \) 이고 분산이 \( \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2} \)인 정규분포를 따르게 된다.
두 모집단의 분산(\(\sigma_1^2 ,\; \sigma_2^2 \))은 대개 알려져 있지 않으므로 분산의 추정치를 이용하여 검정을 하여야 하는데, 두 모분산이 같은 경우와 두 모분산이 다른 경우 검정방법이 약간 차이가 난다. 두 모집단이 정규분포를 따르고 두 모분산이 같다는 가정 하에 두 모평균의 차이가 \(D_0\) 라는 가설검정은 다음과 같은 통계량을 사용한다. $$ \small \frac { ({\overline x}_1 - {\overline x}_2 ) - D_0 }{\sqrt{\frac{s^2_p}{n_1} +\frac{s^2_p}{n_2} } } \qquad \text{여기서 } s^2_p = \frac{(n_1 -1 )s^2_1 + (n_2 -1)s^2_2}{n_1 + n_2 -2} $$ \(s^2_p\)은 모분산의 추정량으로 \( s^2_1 \)과 \( s^2_2 \)에 표본의 크기를 가중치로 모분산을 추정한 것으로 공통분산(pooled variance)이라 한다. 즉, 공통분산은 두 모집단의 분산이 같다고 가정했으므로 두 분산의 표본크기에 비례한 가중평균이다. 위의 통계량은 자유도가 \(n_1 + n_2 -2\)인 t 분포를 하는데 이를 이용하여 두 모평균의 차이에 대한 검정을 다음과 같이 할 수 있다.
표 8.1 두 모평균의 가설검
- 표본이 독립이고, 두 모집단이 정규분포를 따르고, 두 모분산이 같은 경우
| 가설형태 | 산텍기준 |
|---|---|
| 1) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \) \(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 > D_0 \) |
만일 \( \frac { ({\overline x}_1 - {\overline x}_2 ) - D_0 }{\sqrt{\frac{s^2_p}{n_1} +\frac{s^2_p}{n_2} } } > t_{n_1 + n_2 -2; α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 2) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \) \(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 < D_0 \) |
만일 \( \frac { ({\overline x}_1 - {\overline x}_2 ) - D_0 }{\sqrt{\frac{s^2_p}{n_1} +\frac{s^2_p}{n_2} } } < - t_{n_1 + n_2 -2; α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 3) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \) \(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 \ne D_0 \) |
만일 \( \left | \frac { ({\overline x}_1 - {\overline x}_2 ) - D_0 }{\sqrt{\frac{s^2_p}{n_1} +\frac{s^2_p}{n_2} } } \right | > t_{n_1 + n_2 -2; α/2} \), \( H_0 \) 기각 |
참고: 표본의 크기가 충분히 크면 (\(n_1 > 30, n_2 >30 \)) t 분포는 표준정규분포에 근사하므로, 이 경우 위의 선택기준은 표준정규분포를 사용하여도 된다.
두 모집단의 분산이 다를 경우 모집단이 정규분포를 따르더라도 검정통계량 $$ \small \frac { ({\overline x}_1 - {\overline x}_2 ) - D_0 }{\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1} +\frac{s^2_2}{n_2} } } $$ 은 t 분포를 따르지 않는다. 두 모집단의 분산이 다른 경우 두 모평균의 가설검정을 Behrens-Fisher 문제라고 한다. 이 문제를 해결하기 위한 여러 가지 방법이 연구되었는데, 표 8.1의 선택기준에서 대개 근사적으로 자유도 \(\phi\)인 t 분포를 이용하여 가설검정을 하는 Satterthwaite 방법을 사용한다. 여기서 자유도 \(\phi\)는 다음과 같이 계산한다. $$ \phi = \frac { \left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2 } { \frac { \left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2 } {n_1 -1} + \frac { \left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2 } {n_2 -1} } $$ 『eStatU』를 이용하여 두 모평균의 가설검정을 쉽게 할 수 있다.
『eStatU』에서 '가설검정 : \(μ_1 , μ_2\)'를 선택하면 [그림 8.1]과 같은 화면이 나타난다. 여기에서 두 모분산을 같은 것으로 체크하고, 유의수준을 1%, 독립표본을 체크한 후, 표본크기 \(n_1 , n_2\), 표본평균 \(\small \overline x_1 , \overline x_2\), 표본분산 \(s_1^2 , s_2^2\)을 입력한다. [실행] 버튼을 누르면 [그림 8.2]와 같이 두 모평균 차의 구간추정과 가설검정 결과가 화면이 나타난다.
[Testing Hypothesis : Two Population Means μ1, μ2]
『eStat』을 이용하여 두 모평균의 가설검정을 할 수 있다.
두 모분산이 같다고 가정하고 남녀 월평균 임금이 같은지 유의수준 5%로 『eStat』을 이용하여 가설검정 하자.
그래프 창 밑의 [그림 8.5]와 같은 선택사항창에서 원하는 검정을 위한 평균차 D = 0을 입력하고 분산가정을 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) 을 선택하고, 유의수준 5%를 선택한 후 [t 검정] 버튼을 누르면 [그림 8.6]과 같은 두 모평균 가설검정 결과 그래프와 [그림 8.7]과 같은 검정결과가 나타난다.
선택사항에서 \(\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\) 을 선택하고 [t 검정] 버튼을 누르면 두 모분산이 다르다고 가정한 경우의 가설검정 결과를 볼 수 있다.
『eStatU』에서 [그림 8.8]과 같이 데이터를 입력하고 [실행] 버튼을 누르면 같은 결과를 얻을 수 있다.
두 모평균을 비교하는 지금까지의 가설검정에서는 두 표본이 서로 독립적으로 추출된 경우를 다루었지만 어느 경우에는 두 표본을 독립적으로 추출하기가 힘들거나, 독립적으로 추출하였을 때 각 표본개체의 특성이 너무 차이가 나서 결과분석이 무의미할 때가 있다. 예를 들면, 타자수에게 타자속도를 증가시키기 위한 특수교육을 시킨 후 과연 이 교육이 타자속도 증가에 효과가 있었는가 알아보고 싶다고 하자. 이 때 교육 전과 교육 후에 서로 다른 표본을 추출하면 개인의 차가 심하기 때문에 교육의 효과를 측정하기가 어렵다. 이러한 경우 교육 전에 표본추출되어 속도를 측정한 타자수에 대하여, 교육 후에 속도를 측정하여 비교하면 특수교육의 효과를 잘 알아 낼 수가 있다. 이렇게 한번 추출된 표본에 유사한 실험을 하는 대응표본(paired sample)으로 사용하여 두 모집단의 평균을 비교하는 가설검정을 대응비교(paired comparison)라고 한다.
대응비교일 때는 관찰된 쌍(pair)의 차이(\(d_i\))를 계산해서 평균(\(\small \overline d \))과 표준편차(\(s_d\))를 구한다.
표 8.2 대응비교를 위한 데이터와 통계량
| 모집단 1의 표본 \(x_{i1}\) |
모집단 1의 표본 \(x_{i2}\) |
차이 \(d_{i} = x_{i1} - x{i2}\) |
|---|---|---|
| \(x_{11}\) \(x_{21}\) \(\cdots\) \(x_{n1}\) |
\(x_{12}\) \(x_{22}\) \(\cdots\) \(x_{n2}\) |
\(d_1 = x_{11} - x_{12}\) \(d_2 = x_{21} - x_{22}\) \(\cdots\) \(d_n = x_{n1} - x_{n2}\) |
|
\(d_i\)의 평균 : \(\overline d = \frac{1}{n} \sum d_i \) \(d_i\)의 분산 : \(s_d^2 = \frac{1}{n-1} \sum (d_i - \overline d )^2 \) |
두 모집단이 평균이 같은 정규분포일 때 \(\frac{\overline d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}\)는 자유도가 (\(n-1\))인 t분포를 따르는데 이를 이용하여 대응비교인 경우 두 모평균의 차에 대한 검정을 다음과 같이 할 수 있다.
표 8.3 두 모평균의 가설검정 (대응비교)
- 모집단이 정규분포이고 두 표본이 쌍(종속적)으로 추출되었을 경우
| 가설형태 | 선택기준 |
|---|---|
| 1) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \) \(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 > D_0 \) |
만일 \( \frac{\overline d - D_0}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} > t_{n-1; α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 2) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \) \(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 < D_0 \) |
만일 \( \frac{\overline d - D_0}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} < - t_{n-1; α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 3) \( \; H_0 : \mu_1 - \mu_2 = D_0 \) \(\quad\,\, H_1 : \mu_1 - \mu_2 \ne D_0 \) |
만일 \( \left | \frac{\overline d - D_0}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \right | > t_{n-1; α/2} \), then \( H_0 \) 기각 |
| 번호 | 교육전 속도 (단어/분) |
교육후 속도 (단어/분) |
|---|---|---|
| 1 2 3 4 5 6 7 8 |
52 60 63 43 46 56 62 50 |
58 62 62 48 50 55 68 57 |
『eStatU』에서 '가설검정 : \(μ_1 , μ_2\)'를 선택하면 [그림 8.9]와 같은 화면이 나타난다. 여기에서 [표본]을 '대응표본'으로 체크하고 대응표본 데이터를 입력한다. [실행] 버튼을 누르면 [그림 8.10]과 같이 대응비교 두 모평균 차의 구간추정과 가설검정 결과가 화면이 나타난다.
[Testing Hypothesis : Two Population Means μ1, μ2]
이러한 두 모집단의 분산(\(\sigma_1^2 , \sigma_2^2\))을 비교하는 경우에는 분산의 차이를 비교하지 않고 분산의 비(\(\frac {\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\))를 계산한다. 이 분산비가 1 보다 큰가, 작은가, 같은 가를 알아보면 \(\sigma_1^2 \)이 \(\sigma_2^2\)보다 큰가, 작은가, 같은가를 알 수 있다. 분산의 차 대신에 분산비를 이용하는 이유는 표본분산비에 대한 분포를 수학적으로 찾아내기가 용이하기 때문이다. 즉, 통계량 $$ \frac{ \left( \frac{S_1^2}{\sigma_1^2} \right) } { \left( \frac{S_2^2}{\sigma_2^2} \right) } $$ 은 두 모집단이 각각 정규분포를 따를 경우 분자자유도 \(n_1 - 1\), 분모자유도 \(n_2 - 1\) 인 F 분포 (F distribution)를 따르는데 이 사실을 이용하여 모분산비에 대한 가설검정을 한다.
F 분포는 비대칭인 분포군으로 분모자유도, 분자자유도에 따라 서로 다른 분포를 갖는다. [그림 8.11]은 여러 가지 자유도에 따른 F 분포의 그림이다.
『eStatU』 주메뉴에서 'F 분포'를 선택하면 [그림 8.12]와 같은 화면이 나타난다. 여기에서 분자자유도(df1)와 분모자유도(df2)를 선택하고 [실행] 버튼을 누른다. F 분포함수가 그려지고 확률변수의 구간 [a,b]에 대한 P(a ≤ X ≤ b) 확률계산과, 주어진 확률 p에 대한 백분위수 즉, P( X ≤ x ) = p 가 되는 백분위수 x를 쉽게 계산할 수 있다.
[F Distribution]
표 8.4 두 모분산의 가설검정
- 두 모집단이 정규분포인 경우
| 가설형태 | 선택기준 |
|---|---|
| 1) \( \; H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) \(\quad\,\, H_1 : \sigma_1^2 \gt \sigma_2^2 \) |
만일 \( \frac {S_1^2}{S_2^2} > F_{n_1 -1, n_2 -1; α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 2) \( \; H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) \(\quad\,\, H_1 : \sigma_1^2 \lt \sigma_2^2 \) |
만일 \( \frac {S_1^2}{S_2^2} < F_{n_1 -1, n_2 -1; 1-α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 3) \( \; H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) \(\quad\,\, H_1 : \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2 \) |
만일 \( \frac {S_1^2}{S_2^2} < F_{n_1 -1, n_2 -1; 1-α/2} \) or \( \frac {S_1^2}{S_2^2} > F_{n_1 -1, n_2 -1; α/2} \), \( H_0 \) 기각 |
『eStatU』를 이용하여 두 모분산의 가설검정을 할 수 있다.
『eStatU』에서 '가설검정 : \(\sigma_1^2 , \sigma_2^2\)'를 선택하면 [그림 8.13]과 같은 화면이 나타난다. 여기에서 \(n_1\), \(n_1\), \(s_1^2\), \(s_2^2\)를 입력한다. [실행] 버튼을 누르면 [그림 8.14]와 같은 두 모분산 가설검정 결과가 나타난다.
[Testing Hypothesis : Two Population Variances σ12, σ22]
『eStat』을 이용하여 두 모분산의 가설검정을 할 수 있다.
두 모집단의 분산이 같은지 『eStat』을 이용하여 검정하라.
그래프 밑의 선택사항창에서 'F 검정' 버튼을 누르면 [그림 8.17]과 같은 검정결과 그래프가 나타나고 결과창에는 분석 결과([그림 8.18])가 나타난다.
두 모비율을 비교하는 아래의 예를 살펴보자.
이러한 두 모집단의 모비율(\(p_1 , p_2\)) 비교는, 모평균과 유사하게 두 모비율의 차(\(p_1 - p_2\))를 검정함으로써 가능하다. 두 모집단에서 서로 독립적으로 추출한 표본비율의 차 \(\hat p_1 - \hat p_2\)는 표본의 크기가 충분히 클 때 평균이 \(p_1 - p_2\), 분산이 \(\frac{p_1 (1-p_1 )}{n_1} + \frac{p_2 (1-p_2 )}{n_2}\)인 정규분포를 따른다. 여기서 분산의 추정을 위해서는 \(p_1 \)과 \(p_2 \)를 모르므로 두 표본비율(\(\hat p_1 , \hat p_2\))에 대해 표본의 크기를 가중값으로 취한 가중평균 \(\overline p\)를 사용한다. $$ \overline p = \frac { n_1 {\hat p}_1 + n_2 {\hat p}_2 } {n_1 + n_2 } $$ 두 모비율의 차에 대한 검정은 통계량 $$ \frac { {\hat p}_1 - {\hat p}_2 } { \sqrt{ \frac{\overline p (1 - \overline p )}{n_1 } + \frac{\overline p (1 - \overline p ) }{n_2 } } } $$ 을 이용하여 다음과 같이 한다.
표 8.5 모비율의 가설검정
- 대표본이고, 표본이 서로 독립적으로 추출되었을 경우
| 가설형태 | 선택기준 |
|---|---|
| 1) \( \; H_0 : p_1 = p_2 \) \(\quad\,\, H_1 : p_1 > p_2 \) |
만일 \( \frac { {\hat p}_1 - {\hat p}_2 } { \sqrt{ \frac{\overline p (1 - \overline p )}{n_1 } + \frac{\overline p (1 - \overline p ) }{n_2 } } } > z_{α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 2) \( \; H_0 : p_1 = p_2 \) \(\quad\,\, H_1 : p_1 < p_2 \) |
만일 \( \frac { {\hat p}_1 - {\hat p}_2 } { \sqrt{ \frac{\overline p (1 - \overline p )}{n_1 } + \frac{\overline p (1 - \overline p ) }{n_2 } } } < - z_{α} \), \( H_0 \) 기각 |
| 3) \( \; H_0 : p_1 = p_2 \) \(\quad\,\, H_1 : p_1 \ne p_2 \) |
만일 \( \left | \frac { {\hat p}_1 - {\hat p}_2 } { \sqrt{ \frac{\overline p (1 - \overline p )}{n_1 } + \frac{\overline p (1 - \overline p ) }{n_2 } } } \right | > z_{α/2} \), \( H_0 \) 기각 |
『eStatU』를 이용하여 두 모비율의 가설검정을 할 수 있다.
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