13장 시계열분석

이산형 시계열의 예로서 [표 13.1]과 같은 우리나라의 인구수를 들 수 있는데 이 자료는 1925년부터 2020년까지 우리나라에서 매 5년마다 실시된 센서스(1944년과 1949년은 예외)에서 조사된 것이다.

위의 표와 같이 숫자로 표시된 시계열은 전반적인 자료의 형태를 알기가 쉽지 않당. 시계열 분석의 첫 걸음은 관측된 시계열을 X축을 시간, Y축을 시계열 값으로 하는 시계열그림(time series plot)을 그려 관찰한다. 예를 들면 우리나라 총인구 시계열그림이 <그림 13.1>과 같다. 이 그림을 관찰하면 우리나라 인구는 전반적으로 증가 추세를 가지지만 2차 세계대전으로 인하여 1944-1949년에 인구가 급격히 줄었고, 그 이후 한국전쟁으로 인하여 1955년까지는 약간의 인구 증가가 있은 후 1990년까지 급속하게 인구가 팽창되었음을 알 수 있다. 1990년 이후 이러한 증가세는 둔화되었고 최근 10년간은 증가세가 더욱 둔화되었음을 알 수 있다. 이렇게 시계열을 그림으로 관찰하면 추세, 변화점, 특이점(outlier) 등을 관찰 할 수 있고, 자료에 적합한 분석모형이나 분석방법의 선택에 도움이 된다.

[그림 13.1] 우리나라의 인구 시계열그림

우리가 자주 접하는 시계열로는 백화점이나 기업의 월별 매출액, 일별 종합주가지수, 연도별 농작물의 생산량, 연도별 수출 및 수입액에 대한 시계열, 연도별 국민소득 및 경제성장률 등 무수히 많이 있다.

[표 13.2]는 최근 6년 동안의 미국의 장난감/게임 업계의 월별 매출액 전월대비 변화율이고 [그림 13.2] 는 이에 대한 그림이다. 전월대비 변화율이어서 0을 기준으로 오르내리며 매년 11월과 12월에 많은 증가세를 보이는 계절성 자료임을 관찰할 수 있다. 하지만 2020년 5월은 다른 연도와 달리 211%나 되는 증가율을 보인 특이점이다. 시계열은 원자료를 변화율과 같은 시계열로 변환하면 자료의 특성을 더 잘 살펴볼 수 있다.

[그림 13.2] 장난감/게임 산업의 전월대비 변화율(%)

대부분의 시계열은 크게 추세, 계절, 순환 및 기타 불규칙 요인 등의 네 가지 성분을 갖고 있다. 추세(trend)는 시간이 경과함에 따라 시계열이 직선혙태, 곡선형태 등 어떤 경향을 갖는 경우로, 다양한 추세 유형이 있다. 추세는 장기간에 걸쳐서 시계열에 나타나는 소비행태의 변동, 인구변동, 인플레이션 등의 경향을 파악하기 위한 변동요인이라고 할 수 있다.

계절(seasonal)요인은 분기별, 월별, 또는 요일별로 존재하는 단기적이면서 규칙적인 변동요인을 말하며 월별 강우량, 평균 기온, 아이스크림 판매량 등의 시계열이 계절 요인을 갖는다. 계절요인은 일반적으로 주기가 짧은 것이 보통인데, 계절에 의한 것이 아닌 주기가 장기간에 걸쳐서 나타날 때의 변동을 순환(cycle)요인이라고 한다. 이러한 순환요인의 관찰을 통하여 주기적인 경기의 활황 또는 불황 등을 예측할 수 있다. [그림 13.3] 은 미국 S&P500 지수를 1997년에서 2016까지 그린 것으로 6년 주기의 순환성을 관찰할 수 있다.

[그림 13.3] 미국 S&P500 지수 (1997- 2016년)

추세․계절․순환 요인으로 설명될 수 없는 기타 요인을 불규칙(irregular) 또는 우연(random)요인 이라 하는데 시간에 따른 규칙적인 움직임과는 무관하게 랜덤한 원인에 의해 나타나는 변동요인을 의미한다.

시계열의 N점 중심이동평균(N-point centered moving average)이란 한 시점을 중심으로 개의 자료의 평균을 말한다. 예를 들어, 원유 가격 자료에서 어떤 특정 년도의 5점 중심이동평균의 값은 특정 년도 이전의 2년간의 자료, 해당 년도, 이후의 2년간 자료의 평균을 구한 값이다. 식으로 나타내 보면 \(M_t\) 를 시간 \(t\) 에서의 이동평균이라 할 때 $$ M_t = \frac{Y_{t-2} \,+\, Y_{t-1} \,+\, Y_{t} \,+\, Y_{t+1} \,+\, Y_{t+2} } {5 } $$ 예를 들면 1989년의 중심이동평균은 다음과 같다.

\(\qquad M_{1989} \,=\, \frac {Y_{1987} + Y_{1988} +Y_{1989} + Y_{1990} + Y_{1991} } {5 } \)
\( \qquad \qquad \quad =\, \frac {16.74 + 17.12 + 21.84 + 28.48 + 19.15} {5} \,=\, 20.6660 \)

이와 같이 구한 모든 5점 중심이동평균의 값을 계산하면 [표 13.3]과 같고 그 그림이 [그림 13.4] 와 같다. 여기서 처음 2년과 마지막 2년의 중심이동평균은 구할 수 없다는 점에 유의하자. 이동평균의 그래프가 단기적인 변동이 제거됨으로써 본래 자료의 그래프보다 장기적인 추세를 파악하기에 더 좋음을 알 수 있다.

N점 이동평균에서 N의 값의 선택은 중요하다. 큰 N의 값은 보다 부드러운 이동평균을 제공하겠지만 양쪽 끝에서 더 많은 점들을 잃게 되고 또 중요한 추세의 변화 탐지에 둔감해지는 단점이 있다. 반면에 작은 N을 선택하면 양쪽 끝의 자료를 덜 잃게 되겠지만 단기적인 변동을 충분히 제거하지 못해 평활의 효과를 얻지 못할 수도 있을 것이다. 보통은 몇 가지 N의 값을 시도해 봐서 놓쳐서는 안 될 중요한 변화를 반영하면서도 평활의 효과도 거두고 또한 양쪽 끝의 점을 너무 잃지 않도록 균형을 취하여 결정한다.

N의 값이 짝수인 경우에는 기준 년도 양 쪽으로 같은 수의 자료를 갖는 중심이동평균을 구할 수 없는 어려움이 있다. 가령 1987년부터 1990년까지의 4점 이동평균의 중심은 1988년과 1989년 사이에 있다. 이를 \(M_{1988.5}\)라고 표시하면

\( \qquad M_{1988.5} \,=\, \frac {Y_{1987} + Y_{1988} +Y_{1989} + Y_{1990} } {4 } \)
\( \qquad \qquad \quad \,=\, \frac {16.74 + 17.12 + 21.84 + 28.48 } {4} \,=\, 21.045 \)

이렇게 구한 4점 이동평균을 비중심 4점 이동평균이라 하는데 이와 같이 N이 짝수인 경우의 비중심이동평균은 본래 자료의 관측 년도와 일치하지 않아 불편한 점이 있다. N이 짝수인 경우에는 잇닿은 2개의 비중심이동평균 값의 평균으로 구한다. 즉 1989년도의 중심 4점 이동평균은 \(M_{1988.5}\)와 \(M_{1989.5}\)의 평균이다.

\( \qquad M_{1989} \,=\, \frac {M_{1988.5} \,+\, M_{1989.5} } {2 } \)
\( \qquad \qquad \quad =\, \frac {21.0450 \,+\, 21.6475 } {2} \,=\, 21.3463 \)

시계열이 분기별 또는 월별일 경우 4점 중심이동평균이나 12점 중심이동평균은 1년의 평균값이므로 계절성 없이 자료를 관찰할 때 많이 이용된다.

이동평균을 가중평균이라는 다른 관점에서 살펴보면 3점 이동평균은 3개의 자료에 같은 가중치 \(\frac{1}{3}\) 을 준 것이다. $$ M_t \,=\, \frac{Y_{t-1} \,+\, Y_{t} \,+\, Y_{t+1} } {3 } \,=\, \frac{1}{3}Y_{t-1} \,+\, \frac{1}{3}Y_{t} \,+\, \frac{1}{3}Y_{t+1} $$ 가중값이 \(w_1 , w_2 , ... , w_n\)일 때 시계열의 가중이동평균 \(M_t\)는 다음과 같이 정의된다. $$ M_t \,=\, \sum_{i=1}^{n} w_i Y_{i} $$ 여기서 \(n\)은 자료수이고 가중값 \(w_i \ge 0\), \(\sum_{i=1}^{n} w_i = 1 \)이다.

목적에 따라 다른 가중값을 갖는 여러 가지 가중평균이 쓰일 수 있다. 그 중에서 현재와 가까운 자료에 더 많은 가중값을 갖게하고 현재에서 멀수록 작은 가중값을 주는 평활법을 지수평활법 (exponential smoothing)이라 한다. 지수평활법은 0과 1사이의 값을 갖는 지수평활상수 (exponential smoothing constant) \(\alpha\)에 의해 결정되는데 지수평활된 자료 \(E_t\)는 다음과 같이 계산된다.

\( \qquad E_{1} \,=\, \alpha \,Y_{1} \,+\, (1- \alpha)\, E_{0} \)
\( \qquad E_{2} \,=\, \alpha \,Y_{2} \,+\, (1- \alpha)\, E_{1} \)
\( \qquad E_{3} \,=\, \alpha \,Y_{3} \,+\, (1- \alpha)\, E_{2} \)
\( \qquad \cdots \)
\( \qquad E_{t} \,=\, \alpha \,Y_{t} \,+\, (1- \alpha)\, E_{t} \)

여기서 초기값 \(E_{0}\)가 필요한데 \(Y_1\)을 대개 많이 사용하고 자료의 평균값을 이용할 수도 있다. 시점 \(t\)에서 지수평활된 값 \(E_t\)는 현재의 자료에 \(\alpha\)의 가중치를 주고, 그 전의 평활된 자료에 \(1-\alpha\)의 가중치를 둔다. \(E_t\)를 본래의 자료 \(Y_t\)로 표시해 보면 $$ E_t \,=\, \alpha Y_t + (1-\alpha) Y_{t-1} + \alpha(1-\alpha)^2 Y_{t-2} + \cdots + \alpha(1-\alpha)^{t-2} Y_2 + (1-\alpha)^{t-1} Y_1 $$ 이 됨을 알 수 있다. 따라서 지수평활법은 현재와 과거의 모든 자료를 이용하되 현재의 자료에 가장 높은 가중치 α를 주고 현재의 시점에서 멀어질수록 더 낮은 가중치를 두게 된다.

[표 13.3]의 원유 가격 시계열을 초기값 \(E _{1986} = Y _{1987} \), 지수평활상수 \(\alpha\) = 0.3 으로 지수평활하여 보면 다음과 같다

\( \qquad E_{1986} \,=\, E_{1987} = 16.74 \)
\( \qquad E_{1987} \,=\, 0.3 \,Y_{1987} \,+\, (1- 0.3)\, E_{1986} \,=\, (0.3)(16.74)+(0.7)(16.74)=16.74 \)
\( \qquad E_{1988} \,=\, 0.3 \,Y_{1988} \,+\, (1- 0.3)\, E_{1987} \,=\, (0.3)(17.12)+(0.7)(16.74)=16.854 \)

\(\alpha\) = 0.3으로 지수평활된 모든 자료가 [표 13.4]에 주어져 있다. 지수평활법에서는 이동평균법과는 달리 양끝에서 손실된 자료가 생기지 않음을 알 수 있다. 원유 가격 시계열과 지수 평활된 자료를 [그림 13.5] 에 나타내었다. 평활된 자료는 본래 자료보다 그 변화가 심하지 않음을 알 수 있다. \(\alpha\)의 값을 작게 하면 현재보다는 과거의 자료에 보다 많은 비중을 두게 되어 현재의 자료의 급격한 변화에 덜 민감하게 된다. 반대로 \(\alpha\)의 값을 1에 가깝게 할수록, 즉, 현재의 자료에 보다 많은 비중을 두게 될수록 평활된 자료는 본래의 자료와 닮게 되므로 평활의 효과가 없어지게 된다.

예를 들면 [표 13.3]의 원유 가격에 대한 1989년의 중심이동중앙값은 다음과 같다.

\(\qquad MovingMedian_{1989} \,=\, median \{ Y_{1987} , Y_{1988} ,Y_{1989} , Y_{1990} , Y_{1991} \} \) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;=\, median \{16.74, 17.12 , 21.84 , 28.48,19.15 \} \,=\, 19.15 \)

이와 같이 구한 모든 5점 중심이동중앙값과 그 그래프를 [표 13.5]과 [그림 13.6] 에 나타내었다. 여기서 처음 2년과 마지막 2년의 중심이동중앙값은 구할 수 없다는 점에 유의하자. 중심이동중앙값은 이상점을 제거(필터링)하기 때문에 본래 자료보다 많이 평활하게 된다.

N의 값이 짝수인 경우에는 기준 년도 양 쪽으로 같은 수의 자료를 갖는 중심 이동중앙값을 구할 수 없는 어려움이 있다. 가령 1987년부터 1990년까지의 4점 이동중앙값의 중심은 1988년과 1989년 사이에 있다. 이를 \((MovingMedian)_{1988.5}\)라고 표시하면

\(\qquad (MovingMedian)_{1988.5} \,=\, median \{Y_{1987} , Y_{1988} , Y_{1989} , Y_{1990} \} \) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=\, median \{16.74 , 17.12 , 21.84 , 28.48 \} \,=\, \frac {17.12 +21.84} {2} = 19.48 \)

이렇게 구한 4점 이동중앙값을 비중심 4점 이동중앙값이라 하는데 이와 같이 N이 짝수인 경우의 비중심이동평균은 본래 자료의 관측 년도와 일치하지 않아 불편한 점이 있다. N이 짝수인 경우에는 잇닿은 2개의 비중심이동중앙값의 값의 평균으로 구한다. 즉 1989년도의 중심 4점 이동중앙값은 \((MovingMedian)_{1988.5}\)와 \((MovingMedian)_{1989.5}\)의 평균이다.

가. 백분율 증감

\(\qquad P_{2014} \,=\, \frac{19161.2 - 18742.1} {18742.1} \times 100 \,=\, 2.23 \)

[표 13.7]은 2010년부터 2020년까지 우리나라 주택수에 대해 기준시를 2010년으로 하여 단순지수를 구한 것이다. 지수에 대한 그림을 살펴보면 이 경우에는 원래 시계열과 추세와 큰 변화가 없을 알 수 있다. 2010년대비 2020년에는 22.18%의 주택수 증가가 있음을 알 수 있다.

\(\qquad (Index)_{2020} \,=\, \frac{Y _{2020}} {Y_{2010}} \times 100 \,=\, \frac{21673.5} {17738.8} \times 100 \,=\, 122.18 \)

복합지수는 각 물품의 가격에 이 물품이 소비되는 수량을 가중치로 하여 계산하는 가중복합지수 (weighted composite index)가 많이 이용된다. 이러한 가중복합지수를 계산할 때 기준시의 소비량을 가중치로 하는 경우를 라스페이레스(Laspeyres) 방식이라 하고, 현 시점의 소비량을 가중치로 하는 경우를 파셰(Paasche) 방식이라 한다. 일반적으로 라스페이레스 방식의 가중복합지수가 많이 이용되는데 소비자물가지수가 그 대표적인 예이다. 파셰방식의 가격지수는 시간에 따라 가중치로 쓰이는 물품의 소비량 변화가 클 때 사용되는데, 각 시점에서의 소비량이 알려져 있을 때에만 쓸 수 있다. 각 시점에서의 소비량을 그때마다 조사하는 데에는 비용이 많이 든다.

\(P_{1t} , \cdots , P_{kt} \)를 시점 \(t\)에서의 \(k\)개의 물품의 가격이라고 하고 \(Q_{1t_0} , \cdots , Q_{kt_0} \)를 기준시 \(t_0\)의 각 물품의 유통량이라고 할 때 각각의 복합지수 계산공식은 다음과 같다.

\( \qquad \text{Laspeyres Index:} \quad (Index)_t \,=\, \frac { Q_{1t_0} P_{1t} + \cdots + Q_{kt_0} P_{kt} } {Q_{1t_0} P_{1t_0}+ \cdots + Q_{kt_0} P_{kt_0} } \times 100 \)
\( \qquad \text{Paasche Index:} \qquad (Index)_t \,=\, \frac { Q_{1t} P_{1t} + \cdots + Q_{kt} P_{kt} } {Q_{1t} P_{1t_0} + \cdots + Q_{kt} P_{kt_0} } \times 100 \)

[표 13.8]의 자료는 2020년도 월별 세 가지 금속의 가격과 생산량을 나타낸다.

[표 13.8]에서 1월을 기준시로 하여 2월의 자료에 대해서 라스파이레스지수는 다음과 같다.

\( \qquad (Index)_t \,=\, \frac { Q_{1t_0} P_{1t} + \cdots + Q_{kt_0} P_{kt} } {Q_{1t_0} P_{1t_0}+ \cdots + Q_{kt_0} P_{kt_0} } \times 100 \)
\( \qquad \quad \,=\, \frac {(100.7)(1399.0)+(4311)(213)+(46.1)(520) } {(100.7)(1361.6)+(4311)(213)+(47.0)(530) } \,=\, 100 .31 \)

파셰지수는 다음과 같다.

\( \qquad (Index)_t \,=\, \frac { Q_{1t} P_{1t} + \cdots + Q_{kt} P_{kt} } {Q_{1t} P_{1t_0} + \cdots + Q_{kt} P_{kt_0} } \times 100 \)
\( \qquad \quad \,=\, \frac {(95.1)(1399.0)+(4497)(213)+(47.0)(520) } {(95.1)(1361.6)+(4497)(213)+(47.0)(530) } \,=\, 100.28 \)

[표 13.8]에서 특히 마지막 4사분기의 무쇠와 납의 생산량은 기준시인 1월의 생산량과 상당히 차이가 남을 알 수 있다. 이와 같이 수량의 변동이 심하고 또한 각 시점의 수량을 알고 있는 경우에는 파셰지수가 해당 시점의 가격의 변화를 적절히 반영하므로 가장 좋은 지수라고 할 수 있다.

시차 변환된 자료와 원자료의 상관계수를 자기상관계수(autocorrelation coefficient)라 하는데 시계열의 평균을 \(\small \overline Y\)라 할때 시차 k 자료와의 상관계수 \(r_k\)는 다음과 같이 정의된다. $$ \small r_k = \frac { \sum_{t = k+1}^ n (Y_t - \overline Y ) (Y_{t-k} - \overline Y ) } { \sum _{t =1}^n (Y_t - \overline Y )^2 }, \quad k=0, 1, 2, ..., n-1 $$ 이러한 \(r_1 , r_2 , ... , r_k \)를 자기상관함수(autocorrelation function)라고 하는데 시계열 모형을 결정하는데 이용된다.

[표 13.9]는 최근 2년동안의 월별 소비자 물가지수와 이 자료에 대하여 시차 1에서 12까지의 자료를 구한 것이다. 이를 이용한 자기상관계수는 [표 13.10]과 같다. <그림 13.8>은 원 시계열과 자기상관함수의 그림이다.

[표 13.10]의 자료를 1차 차분하여 그림을 그리면 [그림 13.10] 과 같다.

\( \qquad \text{로그함수} \qquad\qquad W = log(Y) \)
\( \qquad \text{제곱근함수} \qquad\quad W = \sqrt(Y) \)
\( \qquad \text{제곱함수} \qquad \qquad W = Y^2 \)
\( \qquad \text{박스-콕스변환} \quad \;\;\; W = \frac {Y^p - 1 }{p} \) 만일 p ≠ 0, log(Y) 만일 p = 0

[표 13.11]는 어느 장남감 회사의 분기별 매출액이고 [그림 13.11] 은 이 자료의 그림으로서 분기별 계절형 자료인데 시간이 갈수록 계절성은 있지만 매출이 증가하는 것을 볼 수 있다. 이와 같이 시간에 따라 분산성이 커지는 자료는 통계적 모형을 적용하기가 쉽지 않다. 이 경우 로그변환 \(W = log(Y)\)을 하면 [그림 13.11] 과 같이 시간이 증가할 때의 분산성을 줄일 수 있어 모형을 적용할 수 있다. 로그 변환된 자료로 모형을 적용하여 예측을 한 후에는 다시 지수변환 \(Y = exp(W)\)를 하여 원자료를 예측한다.

제곱근 변환은 로그변환과 유사한 목적으로 사용되고 제곱 변환은 시간이 갈수록 분산성이 작아질 때 사용할 수 있다. 박스-콕스 변환은 일반적인 변환이다.

추정된 회귀계수가 \(\beta_0 , \beta_1\)일 경우 선형회귀모형의 타당성 검정은 12장에서 설명한 방법과 동일하다. 추정의 표준오차(standard error of estimate)와 결정계수(coefficient of determination)가 많이 사용된다. 선형 추세모형에서 \(\sigma\)는 각 시점에서 추정 회귀선 주위에 관측값들이 흩어질 수 있는 정도를 나타낸다고 볼 수 있다. 이 \(\sigma\)의 추정값으로서 다음과 같은 표준오차가 이용된다. $$ s \,=\, \sqrt { \frac{1} {n-2} \sum_{t=1}^n ( Y_t - {\hat Y}_t )^2 } $$ 표준오차 \(s\)의 값이 작으면 작을수록 관측값들이 추정 회귀직선에 근접해 있음을 나타내고, 이는 회귀직선 모형이 잘 적합됨을 의미한다.

결정계수(coefficient of determination)는 회귀제곱합 RSS가 총제곱합 TSS 중에서 설명된 제곱합의 비율이다. $$ R^2 \,=\, \frac{RSS}{TSS} $$ 결정계수의 값은 항상 0 과 1 사이에 있고 그 값이 1 에 가까울수록 표본들이 회귀직선 주위에 밀집되어 있음을 뜻하며 이는 추정된 회귀식이 관측값들을 잘 설명하고 있다는 것을 의미한다.

12장에서 설명하였듯이 표준오차나 결정계수는 적합성 여부에 대한 절대적인 기준을 정하기가 힘들기 때문에 선형 추세모형의 적합성 여부는 추세 모수 \(\beta_1\)이 0 인지 아닌지에 대한 가설 검정을 이용한다.

\(\small \qquad \text{가설: } \qquad \qquad \,\, H_0 : \beta_1 = 0, H_1: \beta_1 \ne 0\)
\(\small \qquad \text{검정통계량:} \qquad t_{obs} = \frac {{\hat \beta}_1 } { SE ({{\hat \beta}_1 }) } \) , 여기서 \(\small \;\; SE( \hat{ \beta_1} ) \,=\, \frac{ s} { \sqrt { \sum_{i=1}^ n (i - \overline t )^2 } } \)
\(\small \qquad \text{기각역:} \qquad \qquad If \,\; |t_{obs}| \,>\, t_{n-2,\alpha/2}, \,\, H_0 기각, \;\; \) 유의수준 \(\alpha\)

만일 귀무가설 \(H_0\)가 기각되지 못하면 모형은 타당하다고 볼 수 없다.

관측된 시계열 값과 예측값의 차이인 잔차를 이용하여 오차 \(\epsilon_t\) 에 대한 가정을 검정하는데 이를 잔차분석(residual analysis)이라 한다. 잔차분석은 보통 시간에 따른 잔차의 산점도, 또는 잔차와 예측값의 산점도를 그려봄으로써 오차들 간의 독립성과 등분산성 등 오차항에 대한 가정의 만족 여부를 검토를 한다. 산점도들에서 잔차들이 0을 중심으로 특정한 경향을 보이지 않고 랜덤하게 나타나면 각 가정이 타당함을 의미한다. 오차항의 정규성 가정을 검토하기 위해서는 잔차들의 정규확률도(normal probability plot)를 그려보아 그림 상의 점들이 직선의 형태를 나타내면 정규분포의 가정이 적합하다고 판단한다.

선형 회귀모형이 적합하다고 할 수 있을 경우 \(t_0\) 시점에서의 예측값 \({\hat Y}_{t_0} \,=\, {\hat \beta}_0 \,+\, {\hat \beta}_1 \cdot t_0 \)는 시점 \(t_0\)에서 확률변수 \({\hat Y}_{t_0}\)의 평균에 대한 점추정으로 해석할 수 있고 이때 \(Y_{t_0}\)의 평균에 대한 신뢰구간은 다음과 같다. $$\small {\hat Y}_{t_0} \,±\, t_{n-2,\alpha/2} \cdot SE ({\hat Y}_{t_0} ) \;\; 여기서 \;\, SE ( {\hat Y}_{t_0} ) \,=\, s \cdot \sqrt { \frac{1}{n} + \frac {(t_0 - \overline t )^2} { \sum_{i=1}^n (i - \overline t )^2 } } $$ 추세가 2차식, 3차식 또는 그 이상의 다항식 형태일 경우 다음과 같은 다중선형회귀모형을 가정할 수 있다.

\( \qquad \text{2차식} \qquad Y_t = \beta_0 + \beta_1 \cdot t + \beta_2 \cdot t^2 + \epsilon _t \)
\( \qquad \text{3차식} \qquad Y_t = \beta_0 + \beta_1 \cdot t + \beta_2 \cdot t^2 + \beta_3 \cdot t^3 + \epsilon _t \)

예측방법도 위의 단순 선형모형과 유사하다.

추세가 위와 같은 다항식 모형이 아닐 경우 다음과 같은 모형도 생각할 수 있다.

\( \qquad \text{제곱근} \qquad Y_t = \beta_0 + \beta_1 \cdot \sqrt{t} + \epsilon _t \)
\( \qquad \text{로그} \qquad \quad Y_t = \beta_0 + \beta_1 \cdot log(t) + \epsilon _t \)

이 모형들은 \(\sqrt{t}\)나 \(log(t)\)를 단순선형회귀모형의 독립변수 X로 바꾸면 선형회귀모형과 동일하고 예측방법도 유사하다.

이밖에 로그변환에 의해 선형회귀모형을 적용할 수 있는 함수 형태는 다음과 같다.

\( \qquad \text{멱함수} \qquad Y _{t} = \beta_{0} \cdot t ^{\beta _{1}} + \epsilon _{t} \)
\( \qquad \text{지수함수} \quad Y_t = \beta_0 \cdot e^ {( \beta_1 t)} + \epsilon _t \)

이 두 모형의 경우 비선형회귀모형으로 모수를 추정하여야 하나 오차항을 무시할 경우 근사적으로 다음과 같은 선형 모형으로 추정할 수 있다.

\( \qquad \text{멱함수} \qquad log(Y_{t}) = log(\beta_{0}) +{\beta _{1}} \cdot log(t) \)
\( \qquad \text{지수함수} \quad log(Y_t) = log(\beta_0) + \beta_1 \cdot t \)

1986년부터 2021년까지 우리나라 GDP가 [표 13.12]과 같다. <그림 13.12>는 이 데이터에 세 가지 회귀모형을 적용한 그림이다. 이 모형 중에서는 이차식 모형의 \(r^2\)값이 0.9591로 제일 커서 시계열에 제일 적합한 모형이라 할 수 있다. 하지만 추가로 모형의 타당성 겁정이 필요하다.

[ : ]

단순평균모형은 현재까지의 모든 관측값을 이용한다. 하지만 미지 모수 \(\mu\)는 시간에 따라 조금씩 이동할 수 있는데 예측을 위해서는 과거의 자료보다 최근의 자료에 더 가중을 두는 것이 합리적일 것이다. 만일 현 시점 \(T\)에서 최근 \(N\)개의 관측값에만 가중값 \(\frac{1}{N}\)을 주고 나머지 관측값에는 가중값을 0 으로 한다면 \(\mu\)의 추정값은 다음과 같다. $$ {\hat \mu} \;=\; \frac{1}{N} \sum_{ i=T-N+1}^T Y_i \;=\; \frac{1}{N} ( Y_{T-N+1} + Y_{T-N+2} + \cdots + Y_T ) $$ 이를 시점 \(T\)에서 \(N\)점 단순이동평균(single moving average)이라 하고 \(M_T\)로 표시한다. \(N\)점 단순이동평균은 시점 \(T\)에 인접한 \(N\)개 관측값의 평균을 의미한다. \(Y_1, Y_2 , ... , Y_T\)는 가정에 의해 서로 독립이지만 \(M_1, M_2 , ... , M_T\)는 서로 독립이 아니고 상관이 되어 있다.

단순이동평균은 \(N\)의 크기에 따라 그 값이 달라지는데 \(N\)의 값이 크면 원 시계열의 변동에 둔감하게 되므로 서서히 변하고, \(N\)의 값이 작으면 변동에 민감하게 된다. 따라서 원 시계열의 변동이 작은 경우에는 \(N\)의 값을 크게 잡고 변동이 큰 경우에는 \(N\)의 값을 작게 잡는 것이 보통이다.

\(T\) 시점 에서 단순이동평균모형을 이용하여 \(T+\tau\) 시점의 예측값과 예측값의 평균 및 분산은 다음과 같다.

\(\qquad {\hat Y}_{T+\tau} \;=\; M_T , \quad \tau=1,2, ... \)
\(\qquad E( {\hat Y}_{T+\tau} ) \;=\; E(M_T ) \;=\; \mu \)
\(\qquad Var({\hat Y}_{T+\tau} )\;=\; Var(M_t ) \;=\; \frac{ \sigma ^2} {N } \)

단순이동평균모형을 이용하였을 경우 예측값에 대한 95% 신뢰도의 구간추정은 근사적으로 다음과 같다.

\(\qquad {\hat{Y}} _{T+ \tau } \;±\; 1.96 \sqrt {Var( {\hat{Y}} _{T+ \tau } )} \)
\(\qquad M_{T} \;±\; 1.96 \sqrt{ \frac{MSE} {N} } \)

한 가구회사의 최근 2년 동안의 월별 매출액이 [표 13.13]와 같고 6점 이동평균을 구하여 한 시점 후를 예측한 후 원자료와 예측값과의 잔차를 구하였다. 이에 대한 시계열 그림이 [그림 13.13] 과 같다. 이 시계열은 대략 95를 기준으로 상․하로 변동하고 있는데 이와 같은 시계열을 정상형 시계열이라 한다.

\(N\) = 6인 경우 처음 5개 시점에 대한 이동평균은 구할 수 없다. 시점 6에서의 이동평균은 $$ M_6 \;=\; \frac{95+100+87+123+90+96} {6} \;=\; 98.50 $$ 이 되므로 시점 6에서 한 시점 후의 예측은 \({\hat Y}_{6+1} = 98.50 \)이 된다. 따라서 이 예측값을 이용한 시점 7의 잔차는 $$ e_{7} \;=\; Y_{7} \;-\; {\hat{Y}}_{6+1} \;=\; 75-98.50 \;=\; -23.50 $$ 이 된다. 같은 방법으로 나머지 시점의 이동평균과 한 시점 후의 예측값 그리고 잔차는 [표 13.13]과 같고, 따라서 평균제곱오차는 다음과 같다. $$ {MSE} \;=\; \frac { \sum_{ i=7}^{ 24} ( Y_i \;-\; {\hat Y}_i )^{2} } {18} \;=\;331.22 $$ 향후 3개월의 매출액은 제일 마지막 이동평균 \(M_{24}\)이고 예측값에 대한 95% 신뢰구간은 다음과 같다.

\(\qquad {\hat Y}_{24+1} \;=\; {\hat Y}_{24+2} \;=\; {\hat Y}_{24+3} \;=\; M_{24} \;=\; 104.67 \)
\(\qquad M_T \;±\; 1.96 \sqrt \frac{MSE}{N } \)
\(\qquad 104.67 \;±\; 1.96 \sqrt \frac{331.22}{6} \)
\(\qquad [90.10, 119.23] \)

단순지수평활모형은 시점 \(t\)에서의 상수 \(\mu\)의 추정량 \({\hat \mu}_t \)를 바로 전 시점에서의 지수평활 추정량 \({\hat \mu}_{t-1} \)과 시점 \(t\)에서의 관찰값 \(Y_t\)의 가중평균을 구한 것이다. \(t\) 시점에서 지수평활 추정값을 \(S_t \;=\; {\hat \mu}_t \)라 하고 \(\alpha\)를 0과 1 사이의 실수라 할 때 단순지수평활값 \(S_t\)는 다음과 같이 정의된다.

\(\qquad S_1 \;=\; \alpha \;Y_1 \;+\; (1-\alpha) S_0 \)
\(\qquad S_2 \;=\; \alpha \;Y_2 \;+\; (1-\alpha) S_1 \)
\(\qquad \cdots \)
\(\qquad S_t \;=\; \alpha \;Y_t \;+\; (1-\alpha) S_{t-1} \)

여기서 \(\alpha\)를 평활상수(smoothing constant)라고 하는데 단순지수평활값 \(S_{t}\)는 가장 최근 관찰값 \(Y_y\)에 \(\alpha\)의 가중치를 주고, 시점 \(t-1\) 의 지수평활값 \(S_{t-1}\)에 (1-\(\alpha\))의 가중치를 주어 평균한 값이다. \(S_{t}\)에 관한 점화식을 다음과 같이 풀어서 적으면 지수평활의 의미를 더 잘 살펴볼 수 있다.

\(\qquad S_t \;=\; \alpha \;Y_t \;+\; (1-\alpha) S_{t-1} \)
\(\qquad \;=\; \alpha \; Y_t + (1- \alpha )\;( \alpha Y_{t-1} + (1- \alpha ) S_{t-2} ) \)
\(\qquad \;=\; \alpha Y_t + \alpha (1- \alpha ) Y_t-1 + (1- \alpha )^2 S_t-2 \)
\(\qquad \;=\; \alpha Y_t + \alpha (1- \alpha ) Y_t-1 + \alpha(1- \alpha )^2 Y_t-2 \;+\cdots\; + \alpha (1- \alpha )^{(t-1)} Y_1 +(1- \alpha )^t S_0 \)

즉, 단순지수평활값 \(S_t\)는 가장 최근 관찰값 \(Y_t\)에 \(\alpha\)의 가중치를 주고, 그 다음 최근 관찰값에는 \(\alpha(1-\alpha)\), 그 다음은 \(\alpha(1-\alpha)^2\) 등 점차로 적은 가중값을 주게 된다. 따라서 \(\alpha\)의 크기가 작으면 현재의 관찰값에 가중치를 작게 주어 지수평활값은 시계열의 변동에 둔감하고, \(\alpha\)의 크기가 크면 현재의 관찰값에 가중치를 많이 줌으로서 원래의 시계열에 민감하게 반응한다. \(\alpha\)의 값으로는 일반적으로 0.1에서 0.3 사이의 값이 많이 이용된다.

단순지수평활값을 구하기 위해서는 초기평활값 \(S_0\)가 필요한데 최초의 관찰값, 또는 초기 몇 개 자료의 표본평균이나 전체 표본평균 등을 이용한다. 지수평활법은 평활상수의 선택이 임의적이며 예측구간을 구하기 어렵지만 이상점이나 개입(intervention)이 존재할 경우 ARIMA 모형보다 덜 영향을 받고, 사용하기 쉽다는 장점이 있다.

시점 \(T\) 에서 단순지수평활모형을 이용한 \(T+\tau\) 시점의 예측값과 예측값의 평균 및 분산은 다음과 같다.

\(\qquad {\hat Y}_{T+\tau} \;=\;S_T \)
\(\qquad E( {\hat Y}_{T+\tau} )\;=\;E(S_T )\;=\; \mu \)
\(\qquad Var( {\hat{Y}}_{T+ \tau } )\;=\; Var(S_{T} )\;=\; \frac{\alpha } {2- \alpha } \sigma^{2} \)

따라서 단순지수평활모형을 이용하였을 경우 예측값에 대한 95% 신뢰도의 구간추정은 근사적으로 다음과 같다.

\(\qquad {\hat Y}_{T+\tau} \;±\; 1.96 \sqrt { Var ({\hat Y}_{T+\tau})} \)
\(\qquad S_{T} \;±\;1.96\; \sqrt { \frac{\alpha } {2- \alpha } MSE} \)

[표 13.13] 자료에 대해 평활상수 \(\alpha\) = 0.1 인 단순지수평활모형을 적용하여 향후 3개월의 매출액을 예측하자. 지수평활의 초기값 \(S_0 \)는 첫 번째 관측값을 이용하자. 초기값 \(S_0 = Y_1 = 95\) 로 하여 처음 세 개의 시계열에 대해 지수평활값을 구하면 다음과 같다.

\(\qquad S_{1} \;=\;0.1\; \times \;Y _{1} \;+\;(1-0.1\;)\; \times \;S _{0} \;=\;\;0.1\; \times \;95\;+\;0.9\; \times \;95\;=\;95 \)
\(\qquad S_{2} \;=\;0.1\; \times\;Y_2 \;+\; (1-0.1\;)\;\times\; S_1 \;=\; \;0.1\;\times\;100\;+\;0.9 \;\times \;95 \;=\; 95.50 \)
\(\qquad S_{3} \;=\;0.1\; \times \;Y _{3} \;+\;(1-0.1\;)\; \times \;S _{2} \;=\;\;0.1\; \times \;87\;+\;0.9\; \times \;95.5\;=\;94.65 \)
\(\qquad \cdots \)

각 시점에서 한 시점 후의 예측은 다음과 같다.

\(\qquad {\hat Y}_{0+1} \;=\; S_0 \;=\;95.00 \)
\(\qquad {\hat Y}_{1+1} \;=\; S_1 \;=\;95.00 \)
\(\qquad {\hat Y}_{2+1} \;=\; S_2 \;=\;95.50 \)

따라서 이 예측값을 이용한 잔차는 다음과 같다.

\(\qquad e_1 \;=\; Y_1\;-\;{\hat Y}_{0+1} \;=\; 95.00 - 95.00 \;=\; 0 \)
\(\qquad e_2 \;=\; Y_2\;-\;{\hat Y}_{1+1} \;=\; 100.00 - 95.00 \;=\; 5.00 \)
\(\qquad e_3 \;=\; Y_3\;-\;{\hat Y}_{2+1} \;=\; 87.00-95.50\;=\;-8.50 \)

같은 방법으로 나머지 시점의 단순지수평활과 한 시점 후의 예측값 그리고 잔차는 [표 13.14]와 같다. 따라서 평균제곱오차는 다음과 같다.

\(\qquad {MSE} \;= \; \frac{1}{24} \sum_{i=1}^{24} \; ( Y_i \;-{\hat Y}_i )^{2} \;=\;269.72 \)

평균제곱오차의 관점으로 보면 6점 단순이동평균모형의 MSE가 331.22 이므로 지수평활모형이 더 나은 적합성을 모인다고 말 할 수 있다.

향후 3개월의 매출액은 제일 마지막 이동평균 \(S_24\)이고 예측값에 대한 95% 신뢰구간은 다음과 같다.

\(\qquad {\hat Y}_{24+1} \;=\; {\hat Y}_{24+2} \;=\; {\hat Y}_{24+3} \;=\; S_{24} \;=\; 98.66 \)
\(\qquad S_{T} \;±\; 1.96\; \sqrt { \frac{\alpha } {2- \alpha} } MSE \)
\(\qquad 98.66 \;±\; 1.96 \; \sqrt { \frac{0.1} {2-0.1} 269.72 } \)
\(\qquad [65.27, 132.05] \)

[표 13.14]는 이상의 식을 정리한 것이고 [그림 13.14] 는 \(\alpha\) = 0.1 인 단순지수평활모형을 이용한 한 시점 후의 예측과 향후 3개월의 예측에 대한 그림이다.

※ 지수평활의 초기값

1) 최초의 관찰값, 즉, \(\qquad S_0 \;=\; Y_1\)
2) 초기 \(n\)개의 관측값을 이용한 부분평균, 즉, \(\qquad S_0 \;=\; \frac{1}{n} ({Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n }) \)
3) 전체 \(T\) 시점까지의 평균, 즉, \(\qquad S_0 \;=\; \frac{1}{T} ({Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_T }) \)

※ 초기 평활상수

\(\qquad \alpha_t \;=\; \frac{1}{t} , \quad \; \alpha_t \;\) 가 \(\; \alpha \) 될 때 까지

선형추세인 경우 단순이동평균모형의 편향을 없애기 위한 한 가지 방법이 단순이동평균에 대해 다시 이동평균을 구하는 이중이동평균(double moving average)이다. \(T\) 시점에서의 \(N\)점 이중이동평균 \(M_T^{(2)}\)와 그 기댓값은 다음과 같다. $$ \begin{align} M_T^{(2)} &\;=\; \frac{1}{N} (M_T \;+\; M_{T-1} \;+\; \cdots \;+\; M_{T-N+1}) \\ E(M_T^{(2)}) &\;=\; \beta_0 \;+\; \beta_1 T \;-\; (N-1) \beta_1 \end{align} $$ \(E(M_T )\)와 \(E(M_T ^{(2)} )\)는 같은 개수의 모수를 가지고 있으므로 두 식을 연립하여 \(\beta_0 ,\;\beta_1 \)의 추정량을 구하면 다음과 같다. $$ \begin{align} {\hat{\beta }}_{1} &\;=\; \frac{2}{N-1} \; (M_{T} \;-\; M_{T}^{(2)} ) \\ {\hat{\beta }}_{0} &\;=\; 2M_{T} \;-\; M_{T}^{(2)} \;-\; {\hat{\beta }}_{1} \;T\; \end{align} $$ 그러므로,\(T\) 시점에서 이중이동평균을 이용한 \(T+\tau\) 시점의 예측값은 다음과 같다. $$ {\hat Y}_{T+\tau} \;=\; 2 M_T \;-\; {M_T ^{(2)}} \;+\; \tau \;\; (\frac {2}{N-1} ) \;\; (M_T\;-\; M_T^{(2)}) $$ 이와 같은 이중이동평균모형은 일종의 직관적인(heuristic) 방법이라 할 수 있다. 즉, 논리적이기는 하나 최소제곱법과 같은 어떠한 최적화에 근거한 방법은 아니다. 하지만 근사적으로 최소제곱법에 의해 설명될 수도 있는데 이 책에서는 생략하기로 한다.

[표 13.15]는 5점 이중이동평균모형으로 소비자물가지수 예측을 위한 계산표이다. 세 번째 열이 5점 단순이동평균 \(M_T\) 인데 시점 1에서 4까지는 단순이동평균을 계산할 수 없음에 주목하라. 네 번째 열은 5점 이중이동평균 \(M_t^{(2)}\)를 계산한 것인데 단순이동평균이 5개가 계산될 때까지, 즉 시점 1에서 8까지는 이중이동평균을 계산할 수 없다. \(M_9\)와 \(M_9^{(2)}\)를 이용하여 시점 9에서 1시점 후의 예측 \({\hat Y}_{9+1}\)을 구하면 다음과 같다. $$ \begin{align} {\hat Y}_{9+1} &\;=\; 2M_9 \;- M_9^{(2)} \;+ 1 \;\; (\frac{2}{5-1}) \;\;(M_9\;-\;M_9 ^{(2)}) \\ &\;=\; 2 \times 104.50\;-104.028\;+1\;\; ( \frac{2}{5-1} ) \;\;(104.50\;-104.028)\;=\;105.2080 \end{align} $$ 같은 방법으로 계산된 예측값이 다섯 번째 열에 표시되어 있다.

\(T\)시점에서 홀트 이중지수평활모형을 이용한 \(T+\tau\) 시점의 예측값은 다음과 같다. $$ {\hat Y}_{T+\tau} \;=\; {\hat Y}_T + \tau {\hat \beta}_1 (T) $$ 이와 같은 추세 지수평활모형도 역시 일종의 직관적인(heuristic) 방법이라 할 수 있다. 즉, 논리적이기는 하나 최소제곱법과 같은 어떠한 최적화에 근거한 방법은 아니다.

[표 13.15]]의 자료에 대해 단순선형회귀모형을 적용하면 다음과 같다. $$ {\hat{Y}}_{t} =102.574 \;+\; 0.2344 \;\;t $$ 즉 \({\hat \beta}_0 (0) \) = 102.574 이고 \({\hat \beta}_1 (0) \) = 0.2344 이다. [표 13.16]은 이 초기치를 이용하여 홀트 이중지수평활모형으로 소비자 물가지수 예측을 위한 계산표이다. 세 번째 열이 수평계수 \({\hat \beta}_0 (t) \)의 예측값이고, 네 번째 열은 추세계수 \({\hat \beta}_1 (t) \), 다섯 번째 열은 각 시점 에서 1시점 후의 예측 \({\hat Y}_t = {\hat \beta}_0 (t-1) + {\hat \beta}_1 (t-1)\)을 구한 것이다. 따라서 향후 3개월의 소비자 물가지수의 예측은 다음과 같다. $$ \begin{align} & t=25 \qquad {\hat{Y}} _{24+1} \;=\; {\hat{Y}} _{24} \;+\; 1\; \times {\hat{\beta}} _{1} (24)\;=\;108.19 +0.237\;=\;108.42 \\ & t=26 \qquad {\hat{Y}} _{24+2} \;=\; {\hat{Y}} _{24} \;+\; 2\; \times {\hat{\beta}} _{1} (24)\;=\;108.19 + 2 \times0.237\;=\;108.66 \\ & t=27 \qquad {\hat{Y}} _{24+3} \;=\; {\hat{Y}} _{24} \;+\; 3\; \times {\hat{\beta}} _{1} (24)\;=\;108.19 + 3 \times0.237\;=\;108.90 \end{align} $$

[그림 13.17] 은 홀트 이중지수평활모형을 이용한 예측값을 보여주고 있다.

(단계 1) 시계열에 대하여 계절주기와 같은 \(L\)점 중심이동평균을 구한다. 이 중심이동평균은 시계열에서 계절성분과 불규칙성분이 제거된 추세 성분 \(T_t\)을 나타낸다고 볼 수 있다.

(단계 2) 시계열 \(Y_t\)를 단계 1에서 구한 추세 성분 \(T_t\)으로 나누어 준다. 이 값은 계절성분과 불규칙 성분 \({S_t \cdot I_t}\)을 의미하는 것으로 계절비율이라 한다. 즉, $$ \frac{Y_t} {T_t } \;=\; S_t \cdot I_t $$ (단계 3) 단계 2에서 구한 계절비율에 대해 각 계절별로 평균(또는 절사평균)을 구하면 계절지수 \(S_t\)를 구하게 된다. 이때 계절지수의 합이 \(L\)이 되도록 정규화를 해 주어야 한다.

이와 같이 계절지수를 구한 후 원 시계열 자료를 계절지수로 나누어 주면 비계절화 시계열(deseasonal time series) \(D_t\)가 된다.

\( \qquad \text{비계절화 시계열:} \qquad D_t \;=\; \frac{Y_t} {S_t } = T \cdot I \)

이 비계절화 시계열 \(D_t\)는 \(T \cdot I\)를 의미하는데 이에 대해 적절한 모형을 이용하여 미래를 예측한 후 여기에 해당 계절지수를 곱하여 주면 원하는 계절의 예측값을 구할 수 있다.

[표 13.17]은 한 회사의 분기별 매출액이다. 계절주기가 4이므로 4점 중심화이동평균을 구하면 표의 4열과 같다. 원래의 시계열을 4점 중심화이동평균으로 나누어 주면 5열의 계절비율을 계산할 수 있다. 즉, $$ \frac{Y_t} {T_t } \;=\; S_t \cdot I_t $$

5열의 계절비율을 연도별, 분기별로 정리한 것이 [표 13.18]인데 각 분기별로 최대값과 최소값을 제거하고 평균(절사평균)을 구하면 6열과 같다. 이 값들의 합이 4.0197 이므로 절사평균 계절비율을 정규화한 계절지수가 7열과 같다. 즉, $$ {\hat S}_1 \;=\; 1.1991,\quad {\hat S}_2 \;=\; 0.9159,\quad {\hat S}_3 \;=\; 0.8472,\quad {\hat S}_4 \;=\; 1.0378 $$

원래의 자료를 각 분기의 계절지수로 나눈 비계절화 자료 \(D_t\)는 [표 13.17]의 6열과 같다. 이 비계절화 자료의 선형 회귀직선을 구하면 다음과 같다 (<그림 13.18>). $$ D_{t} \;=\; 61.2000 \;+\; 1.6088 \cdot t $$ 따라서 향후 1년간의 예측은 다음과 같다. $$ \begin{align} & \text{시점 17 :} \quad{\hat Y}_{17} \;=\; (61.2000 \;+\; 1.6088 \times 17) \times 1.1991 \;=\; 108.354 \\ & \text{시점 18 :} \quad{\hat Y}_{18} \;=\; (61.2000 \;+\; 1.6088 \times 18) \times 0.9159 \;=\; 83.332 \\ & \text{시점 19 :} \quad{\hat Y}_{19} \;=\; (61.2000 \;+\; 1.6088 \times 19) \times 0.8472 \;=\; 77.721 \\ & \text{시점 20 :} \quad{\hat Y}_{20} \;=\; (61.2000 \;+\; 1.6088 \times 20) \times 1.0378 \;=\; 93.853 \\ \end{align} $$ [그림 13.19] 는 계절 예측값의 그래프이다.

[ : ]
      Y = () × () × ()

13.6.2 홀트-윈터스 계절모형

13.7 연습문제