9장 여러 모평균의 가설검정

8.1절에서는 두 모집단의 평균 비교를 검정을 이용하여 하는 방법에 대해 알아보았다. 이 장에서는 이를 확장하여 여러 모집단의 평균을 비교하는 방법을 살펴본다. 현실에서는 여러 모집단의 평균을 비교하는 예가 많다.

도서관 이용시간과 같이 실제로 그 값이 관측되는 변량을 분석변량 또는 반응변량(response variable)이라 한다. 그리고 학년과 같이 모집단의 그룹을 구분하는데 사용되는 변량을 그룹 또는 인자(factor)라고 하는데 대부분 이산형 변량이다. 인자가 가지는 값들을 인자의 수준(level)이라고 하며, 이들 수준의 개수가 비교되는 모집단의 개수가 된다. 이와 같이 하나의 인자가 반응변량에 미치는 영향을 조사하는 분산분석법을 일원분산분석(one-way ANOVA)이라 한다. 표 9.1은 일원분산분석에서 수준의 개수가 \(k\)개이고 각 수준에서의 관측값이 각각 \(n_1 , n_2, ... , n_k\) 개 있는 경우의 일반적인 자료구조를 보여준다.

검정하고자하는 가설은 각 수준의 모평균 \(\mu_i\)가 같은지 비교하는 것이다.

여러 개의 모평균이 차이가 있는지 검정하는 상식적인 측도는 각 수준에서 전체평균까지의 거리일 것이다. 즉, 전체 표본평균을 \(\overline Y_{\cdot \cdot}\)로 나타내면 각각의 표본평균에서 전체평균까지의 거리는 표본의 개수를 가중치로 하였을 때 다음과 같다. 이를 처리 제곱합(treatment sum of squares; SSTr) 또는 급간제곱합 (between sum of squares; SSB)이라 부른다.

이 처리제곱합이 0에 가까우면 모평균에 차이가 없다는 귀무가설이 채택된다.

검정을 위한 통계량을 위해 각 수준 내에서의 수준 평균과의 제곱거리를 오차제곱합(error sum of squares; SSE)이라 하고 다음과 같이 정의한다. 급내제곱합(within sum of squares; SSW)이라고도 부른다.

만일 각 수준의 모집단이 정규분포를 따르고 모분산이 모두 같다고 가정하면 급간의 분산 \(\frac{SSTr}{k-1}\) (급간평균제곱합; MSTr)을 급내분산 \(\frac{SSE}{n-k}\) (급내평균제곱합, 또는 오차평균제곱합; MSE)으로 나눈 검정통계량 $$ F_{0} = \frac { \frac{SSTr}{(k-1)} } { \frac{SSE}{(n-k)} } $$ 은 \(F_{k-1; n-k}\) 분포를 따른다. 즉 검정통계량이 0에 가까우면 귀무가설이 채택되고, 많이 크면 귀무가설이 기각되게 된다.

위의 복잡한 검정통계량을 표 9.2와 같은 분산분석표(ANOVA table)로 정리할 수 있다.

일원분산분석을 위한 통계모형은 다음과 같이 주어진다. $$ \begin{align} Y_{ij} &= \mu_i + \epsilon_{ij} \\ &= \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}, i=1,2,...,k; j=1,2,..., n_i \\ \end{align} $$ 위에서 \(Y_{ij}\)는 반응변량 \(Y\)의 \(i\)번째 수준에서의 \(j\)번째 관측값을 나타낸다. 이 모형에서는 \(i\)번째 수준에서의 \(Y\)의 모평균 \(\mu_i\)를 \(\mu +\alpha_i\)로 나타내었는데 여기에서 \(\mu\)는 \(Y\)의 전체 모평균을 나타내며, \(\alpha_i\)는 \(\mu_i -\mu\)로 이를 반응변량에 대한 \(i\)번째 수준의 효과(effect)라 한다. 오차항 \(\epsilon_{ij}\)는 서로 독립이며, 평균이 0 이고 분산이 \(\sigma^2\)인 정규분포를 따른다고 가정한다. 오차항 \(\epsilon_{ij}\)는 수준간의 차이가 아닌 다른 요인에 기인하는 반응변량의 변동을 나타내는 확률변량이다.

검정하고자하는 가설은 \(\mu_i\)대신에 \(\alpha_i\)를 사용하면 아래와 같다.

다중비교

평균들에 대한 F 검정에서 인자의 각 수준간의 차이가 나타나지 않는 경우에는 차이가 없다고 결론을 내리거나, 아니면 수준간의 차이를 찾기 위한 다른 실험을 시도 할 수 있다. 그러나 [예 9.1]과 같이 각 수준간의 차이가 있다는 결론을 얻은 경우에는 그 차이가 어느 수준간에서 나타나는지 살펴볼 필요가 있다.

분산분석 후의 평균 차이에 관한 분석에서는 평균차의 검정을 두 개 이상 동시에 하여야 하는데, 이때 사용하는 통계적 검정방법을 다중비교(multiple comparison)라 하며 여러 가지 다중비교방법들 중에서 Tukey의 HSD검정 (honestly significant difference test)이 가장 많이 이용된다. 평균 \(\mu_i\)와 \(\mu_j\)에 대한 Tukey의 HSD검정에서는 먼저 $$ HSD_{ij} = q_{k,n-k; α} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} ( \frac{1}{n_i } + \frac{1}{n_j} ) MSE } $$ 를 계산하여 표본평균들이 부등식

를 만족하면 가설 \(H_0 : \mu_i = \mu_j\)를 기각하여 \(\mu_i\)와 \(\mu_j\)는 유의수준 \(\alpha\)하에서 다르다고 결정한다. 위의 식에서 \(n_i\)와 \(n_j\)는 \(i\)와 \(j\)수준에서의 반복수, MSE는 오차평균제곱합이다. 그리고 \(q_{k,n-k; α}\)는 모수 \(k\)와 자유도 \(n-k\)를 갖는 표준화범위분포(studentized range distribution)의 우측 100 \(\alpha\)% 백분위수로 『eStatU』에 ‘HSD 표준화범위분포’에 수록되어 있다([그림 9.9]).

잔차분석

분산분석과 관련된 또 하나의 통계적 분석은 잔차분석(residual analysis)이다. 분산분석에서의 각종 가설검정은 오차항 \(\epsilon_{ij}\)에 대한 가정이 성립한다는 조건하에서 이루어진다. 오차항에 대한 가정에는 독립성 (\(\epsilon_{ij}\)들은 서로 독립), 등분산성 (각 \(\epsilon_{ij}\)의 분산은 \(\sigma^2\)으로 일정), 정규성 (각 \(\epsilon_{ij}\)는 정규분포) 등이 있는데, 분석의 정확성을 위해 항상 이들 가정들의 타당성을 조사하여야 한다. 그러나 \(\epsilon_{ij}\)는 관측될 수 없기 때문에 이들의 추정치인 잔차(residual)를 계산하여 이용한다. 분산분석에서의 잔차는 항상 오차제곱합의 공식에 사용되는 편차로 정의되는데, 이를테면, 일원분산분석에서는 \(Y_{ij} - {\overline Y}_{i\cdot} \)이다.

완전확률화계획법

한 인자의 각 수준 간에 존재할 수 있는 차이를 정확하게 파악하기 위해서는 다른 인자들의 영향을 될 수 있는 대로 적게 해 주는 것이 좋다. 이를 위한 방법 중의 하나는 실험전체를 랜덤(random)하게 하는 것이다. 예를 들어, 세 종류의 자동차(A, B, C)의 1리터당 주행거리(연비)를 비교하는 문제를 생각해 보자. 각 종류의 자동차 5대에 대해 연비를 측정하고자 한다. 한 운전자가 모든 15대의 차를 운전해 실험해 볼 수도 있다. 하지만 하루에 5대밖에 측정할 수 없다면 총 3일에 걸쳐서 측정을 하게 된다. 이 경우 매일 날씨나 풍속, 풍향 등이 달라 질 수 있어 측정된 값이 날씨에 영향을 받게 되고 각 날짜에 어느 자동차 종류의 연비를 측정해야 되는지 문제가 된다.

하루에 모든 차의 연비를 측정하기 위하여 다섯 명의 운전자(1, 2, 3, 4, 5)가 차를 운전하려고 계획을 세웠다면 자동차의 연비는 운전자에 따라 영향을 받을 수 있는 문제가 발생한다. 한 가지 해결 방법은 15대의 차를 5명의 운전자에게 랜덤하게 3대씩 배정한 후 실험의 순서 역시 랜덤하게 하면 된다. 즉, 각 차에 1번부터 15번까지의 번호를 부여한 다음, 제비뽑기나 난수표를 사용하여 나오는 번호순서대로 연비측정 실험을 한다. 이와 같이 실험하면 운전자, 풍속, 풍향 등 외부 요인에 의한 변동이 전체 관측값에 균등하게 영향을 미치어 이 요인들로 인하여 인자의 수준 간에 차이가 발생할 가능성이 줄어든다. 이와 같은 실험방법을 완전확률화계획법(completely randomized design) 이라 부른다. 표 9.4는 이 방법에 의한 배정의 한 예를 보여준다. 기호 A, B, C는 세 회사 자동차를 나타낸다.

일반적으로 분산분석을 이용하는 문제에 있어서는 분석의 목적을 제대로 달성하기 위하여 자료를 얻기 위한 실험을 사전에 철저히 계획할 필요가 있는데, 위의 완전확률화계획법과 같은 실험방법은 통계학의 한 분야인 실험계획법(design of experiment)에서 다룬다. 실험계획의 관점에서 볼 때 일원분산분석법을 일원배치법(oneway layout)이라고 부른다.

확률화블록계획법

위에서 예로 들은 자동차 연비실험에서는 완전확률화계획법으로 15대의 자동차를 5명의 운전자에게 랜덤하게 배정하였다. 하지만 표 9.4의 한 배정 결과는 이와 같은 완전확률화계획법의 단점을 보여준다. 이를 테면, 운전자 1은 B와 C 회사차만, 운전자 3은 A와 B 회사차만 실험하게 되어 운전자간의 변동이 오차항에 평균화되어 포함되지를 못한다. 그러므로 운전자간의 변동이 심한 경우 오차항은 단순한 실험오차가 아닐 수 있다. 이러한 단점을 없애기 위해 각 운전자가 각 회사차를 적어도 한번씩 실험하도록 할 수 있는데 이와 같은 실험방법을 확률화블록계획법(randomized block design)이라 한다. 표 9.5는 이 경우 가능한 배정의 한 예를 보여준다. 이 표에서 괄호안의 값은 관측된 연비의 값이다.

표 9.5에서 전체 관측값들을 운전자에 따라 5개의 집합으로 나누는 것과 같이 동일한 성질을 갖도록 나눈 것을 블록(block)이라 하고, 운전자와 같이 블록을 나타내는 변량을 블록변량(block variable)이라 한다. 블록은 일반적으로 인자 외의 다른 요인에 의한 변동이 심할 경우 사용된다. 예를 들어, 벼품종에 따른 수확량을 조사할 때 실험에 사용되는 논의 지력이 일정하지 않은 경우에는 우선 지력이 일정하도록 몇 개의 구획(블록)을 만든 후 각 구획에 모든 품종의 벼를 심는다. 이와 같이 하면 지력의 차가 심한 경우에도 그로 인한 변동을 제거할 수 있으므로 벼품종간의 수확량 차이에 대해 더욱 정확하게 조사할 수 있다.

확률화블록계획법에서 블록이 b개 있는 경우의 통계적 모형은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ Y_{ij} = \mu + \alpha_i + B_j + \epsilon_{ij}, \quad i=1,2, ... ,k, \; j=1,2, ... ,b $$

이 식에서 \(B_j\)는 블록변량의 \(i\) 번째 수준의 반응변량에 대한 영향력을 나타낸다. 확률화블록계획법에서는 블록변량의 각 수준간의 차이에 기인하는 변동을 인자의 변동과는 독립적으로 오차항에서 분리시킬 수 있다. 이 계획법에서의 총편차는 다음과 같이 분할된다. $$ Y_{ij} - {\overline Y}_{\cdot \cdot} = (Y_{ij} - {\overline Y}_{i \cdot} - {\overline Y}_{\cdot j} + {\overline Y}_{\cdot \cdot}) + ({\overline Y}_{i \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot}) +({\overline Y}_{\cdot j} - {\overline Y}_{\cdot \cdot}) $$ 위 식의 양변을 제곱한 다음 모든 \(i, j\)에 대해 합하면 일원분산분석에서와 같이 여러 가지의 제곱합을 얻을 수 있다. 즉,

총제곱합 (Total sum of squares) :    자유도 ; \(bk - 1\)
SST = \(\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{b} ( Y_{ij} - {\overline Y}_{\cdot \cdot} )^2 \)

오차제곱합 (Error sum of squares) :    자유도 ; \((b-1)(k-1)\)
SSE = \(\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{b} ( {Y}_{ij} - {\overline Y}_{i \cdot} - {\overline Y}_{\cdot j} + {\overline Y}_{\cdot \cdot})^2 \)

처리제곱합 (Treatment sum of squares) :    자유도 ; \(k - 1\)
SSTr = \(\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{b} ( {\overline Y}_{i \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot} )^2 \) = \(b\sum_{i=1}^{k} ( {\overline Y}_{i \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot} )^2 \)

블록제곱합 (Block sum of squares) :    자유도 ; \(b - 1\)
SSB = \(\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{b} ( {\overline Y}_{\cdot j} - {\overline Y}_{\cdot \cdot} )^2 \) = \(k \sum_{j=1}^{b} ( {\overline Y}_{\cdot j} - {\overline Y}_{\cdot \cdot} )^2 \)

확률화블록계획법에서는 항상 다음과 같이 제곱합과 자유도가 분할된다.

표 9.6은 확률화블록계획법에서의 분산분석표를 보여준다. 이 분산분석표에서 블록요인과 오차요인의 제곱합과 자유도를 합쳐 새로운 오차항의 제곱합과 자유도로 생각하면 일원분산분석의 표와 같아짐을 알 수 있다.

확률화블록계획법에서는 완전확률화계획법과는 달리 전체 실험을 랜덤하게 하지 않고 각 블록안에서만 실험을 랜덤하게 하면 된다. 확률화블록계획법에서 또 유의할 점은 블록변량의 변동을 오차항에서 분리시켰지만 주관심은 일원분산분석에서와 마찬가지로 한 인자의 수준간의 차에 대한 검정이라는 것이다. 블록변량은 오차제곱합을 감소시켜 인자의 수준간의 차에 대한 검정을 더욱 정확하게 하기 위해 사용되는 것이므로 그 수준간의 차에 대한 검정은 중요하지 않다. 또한, 일원분산분석의 오차제곱합에서 블록제곱합이 분리되었으므로 오차제곱합은 감소되지만 자유도 역시 감소하므로 오차평균제곱합(MSE)이 항상 감소하는 것은 아니다.

라틴방격법은 정사각형의 열에 첫 번째 블록변수를 할당하고, 행에 두 번째 블록변수를 할당한다. 그 다음 각 처리별 실험이 각 행과 각 열에서 한 번만 시행하는 방식으로 실험한다. 따라서 행 수, 열 수 및 처리 수는 모두 동일하다. 표 9.8은 3개의 행, 3개의 열 및 대문자 A, B, C로 지정된 3개의 처리가 있는 3 × 3의 전형적인 라틴방격법 실험계획의 예이다.

표 9.9는 4개의 행, 4개의 열 및 대문자 A, B, C, D로 지정된 4개의 처리가 있는 4 × 4의 전형적인 라틴방격법 실험계획의 예이다.

라틴방격 실험계획에서 차종은 각 행, 각 열에 한 번씩만 발생하도록 무작위로 배정한다. 따라서 여러 형태의 3 × 3 및 4 × 4 라틴방격 실험계획이 가능하다. 해당 차원의 가능한 모든 라틴방격 실험계획에서 무작위로 한 설계를 선택하여 무작위화를 얻는다.

라틴방격 실험계획에서 행, 열, 처리의 수준수가 적으면 평균제곱오차의 자유도가 적게 되므로 일반적으로 최소 5 × 5 크기를 권장한다. .

\(r\)개의 처리 수준이 있는 라틴방격 실험계획의 가설은 다음과 같다.

\(\qquad\) 귀무가설 : \(\quad H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2} = \cdots = \mu_{r} \)
\(\qquad\) 대립가설 : \(\quad H_{1} : \) 적어도 한 쌍 이상의 \(\mu_i \) 가 같지 않다.

\(r × r \) 라틴방격 실험계획의 통계적 모형은 다음과 같다. $$ Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_k + \epsilon_{ijk}, \quad i=1,2, ... ,r, \; j=1,2, ... ,r, \; k=1,2, ... , r $$ 여기서 \(\mu_i = \mu + \alpha_i\) 이다. 이 식에서 \(\alpha_i\)는 행블록변수의 \(i\)번째 수준, \(\beta_j\)는 열블록변수의 \(j\)번째 수준이고 \(\gamma_k\)는 반응변수의 \(k\)번째 수준을 의미한다.

\(r × r \) 라틴방격 실험에서 데이터와 행평균, 열평균, 처리평균과 전체평균에 대한 기호는 다음과 같다.

라틴방격 실험계획 데이터의 분석에서 두 개의 블록변수에 의한 변이도는 오차변이에서 분리해 낸다. 라틴방격 실험계획에서 전체 변이도는 다음과 같이 분리할 수 있다. $$ Y_{ijk} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} = (Y_{ijk} - {\overline Y}_{i \cdot \cdot} - {\overline Y}_{\cdot j \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot k} + 2 {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot}) + ({\overline Y}_{i \cdot \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot}) + ({\overline Y}_{\cdot j \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot}) + ({\overline Y}_{\cdot \cdot k} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot}) $$ 이 식의 양변을 제곱하여 모든 \(i, j, k\)의 합을 구하면 다음과 같은 제곱합이 된다.

전체제곱합 :
SST = \(\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{r} ( Y_{ijk} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \) ,   자유도 ; \(r^3 - 1\)

오차제곱합 :
SSE = \(\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{r} ( {Y}_{ijk} - {\overline Y}_{i \cdot \cdot} - {\overline Y}_{\cdot j \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot k} + 2 {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot})^2 \) ,   자유도 ; \(r^2 -3r + 2\)

행제곱합 :
SSTr = \(\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{r} ( {\overline Y}_{i \cdot \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \)   자유도 ; \(r - 1\)

열제곱합 :
SSB = \(\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{r} ( {\overline Y}_{\cdot j \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \)   자유도 ; \(r - 1\)

처리제곱합 :
SSTr = \(\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{r} ( {\overline Y}_{\cdot \cdot k} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \)   자유도 ; \(r - 1\)

제곱합 간에는 항상 다음이 성립한다. 표 9.11은 라틴방격 실험계획의 분산분석표이다.

분산분석에서 반응변량에 영향을 주는 인자(factor)가 2개 있는 경우를 이원분산분석(two-way analysis of variance)이라 한다. 일반적으로 공학, 의학, 농학 등의 실험에 많이 사용되는 방법으로 반응변량은 2개 인자들의 각 수준의 조합에서 관측된다. 일반적으로 실험 결과의 신뢰도를 높이기 위하여 가능하면 각 인자(A와 B라 부르자) 수준들의 조합에서 2회 이상의 실험을 반복하는 것이 바람직하다.

각 인자 수준의 조합에서 여러 번 반복 실험으로 데이터를 얻는 경우 이원분산분석은 일원분산분석과 유사하게 인자 A의 각 수준별 모평균이 같은지 검정(인자 A의 주효과(main effect) 검정이라 부름)하거나, 인자 B의 각 수준별 모평균이 같은지 검정 (인자 B의 주효과 검정이라 부름)한다. 이밖에도 이원분산분석에서는 한 인자의 효과가 다른 인자의 수준에 따라 다른가를 검정(이를 교호작용효과(interaction effect) 검정이라 부름)할 수 있다. 예를 들어, 어느 화학공정에서 온도가 낮을 때는 압력이 높을수록 생산량이 많고, 온도가 높을 때는 압력이 낮을수록 생산량이 많다면 온도와 압력의 두 인자 간에 교호작용효과가 있다고 할 수 있다. 교호작용효과는 한 인자의 효과가 다른 인자의 수준의 변화에 따라 변하는 모형에서 존재한다.

\(Y_{ijk}\)를 \(a\)개의 수준을 갖는 인자 A의 \(i\)번째 수준, \(b\)개의 수준을 갖는 인자 B의 \(j\)번째 수준에서 관측된 \(k\)번째 값을 나타내는 확률변량이라 하면 통계 모형은 다음과 같다.

$$ Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ijk} , \quad i=1,2, ... ,a ; \; j=1,2, ... , b ; \; k=1,2, ... , r $$

분석에 필요한 제곱합은 일원분산분석에서와 같이 관측값과 총평균간의 편차를 분할한 식을 이용하여 다음과 같이 주어진다. 전체 관측값들의 개수를 \(n\)이라 하면, 제곱합의 정의와 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

총제곱합 :
SST = \(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{r}( Y_{ijk} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \) ,    자유도 ; \(n - 1\)

인자 A의 처리제곱합 :
SSA = \(br \sum_{i=1}^{a} ( {\overline Y}_{i \cdot \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \) ,    자유도 ; \(a - 1\)

인자 B의 처리제곱합 :
SSB = \(ar \sum_{j=1}^{b} ( {\overline Y}_{\cdot j \cdot} - {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \) ,    자유도 ; \(b - 1\)

인자 A와 B의 교호작용효과를 나타내는 제곱합 :
SSAB = \(r \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} ( {\overline Y}_{ij \cdot} - {\overline Y}_{i \cdot \cdot} - {\overline Y}_{\cdot j \cdot} + {\overline Y}_{\cdot \cdot \cdot} )^2 \) ,    자유도 ; \((a - 1)(b - 1)\)

오차제곱합 :
SSE = \(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{r} ( {Y}_{ijk} - {\overline Y}_{ij \cdot})^2 \) ,    자유도 ; \(n-ab\)

이들 제곱합의 분할과 자유도의 분할은 다음과 같다.

이들을 요약한 분산분석표는 표 9.13과 같다.

인자 A와 인자 B의 주효과와 교호작용에 대한 가설검정은 다음과 같다. 위와 같이 교호작용을 분리한 경우에는 이 교호작용에 대한 검정을 먼저 하는 것이 타당하다. 왜냐하면, 교호작용효과의 유의여부에 따라 각 인자의 평균검정의 결과 해석 방법이 달라지기 때문이다.

1) 교호작용효과에 대한 F 검정:

2) 인자 A의 주효과에 대한 F 검정:

3) 인자 B의 주효과에 대한 F 검정:

교호작용효과에 대한 검정에서 유의하지 않으면 각 인자의 주효과에 대한 검정을 실시하여 수준간에 유의한 차이가 있는지를 검정하면 된다. 그러나 교호작용효과가 유의하게 있는 경우에는 각 인자의 주효과에 대한 검정은 의미가 없으므로 인자들의 어느 수준조합에서 평균들이 차이가 나타나는지를 해석하여야 한다.

일원분산분석에서와 같이 수준간의 평균차이가 있다는 결론을 얻는 경우에는 그 차이가 어느 수준간에서 나타나는지 살펴보기 위하여 각 수준에서의 신뢰구간을 비교할 수 있다. 그리고 가정의 타당성을 조사하기 위하여 잔차분석을 할 필요가 있다.