🎲 예 7.1

모평균이 175cm 인지 아니면 이보다 큰지 유의수준 5%로 『eStatU』을 이용하여 가설검정하여 보자.

풀이

[그림 7.1] 데이터 입력

그래프 창 밑의 선택 창([그림 7.3])에서 '히스토그램'을 클릭하면 [데이터에 대한 히스토그램과 정규분포곡선이 출력되어 데이터가 정규분포인지 대략 검사할 수 있다. (11장에서 설명).

선택 창에서 [그림 7.3]과 같이 \(μ_0\) = 170을 입력하고, 대립가설 형태를 우측검정, 유의수준을 5%로 선택하고 [t 검정(Z)] 버튼을 누르면 [그림 7.5]와 같은 검정통계량의 분포인 t 분포 그래프가 나타나고 결과저장창에 검정결과가 나타난다([그림 7.6]). 선택 창에서 Z 검정을 선택할 수도 있다. 이 경우에는 모표준편차 σ를 입력하여야 한다.

🎲 예 7.2

풀이

[Testing Hypothesis : Population Mean μ ]

🎲 예 7.3

모분산이 \(5^2\)인지 아닌지 유의수준 5%로 『eStat』를 이용하여 가설검정하여 보자.

풀이

[그림 7.9] 『eStat』 데이터 입력

그래프 창 밑의 선택창([그림 7.11])에서 \(\sigma^2_0\) = 25를 입력하고, 대립가설 형태를 우측검정, 유의수준을 5%로 선택하고 '\(\chi^2\) 검정' 버튼을 누르면 [그림 7.12]와 같은 가설검정 결과 그래프와 결과표([그림 7.13])가 나타난다.

🎲 예 7.4

풀이

[]

🎲 예 7.5

풀이

[Testing Hypothesis : Population Proportion p]

🎲 예 7.6

풀이

'\(\small \overline X\) < 1500 + (1.645)\(\frac{200}{\sqrt{30}}\) = 1560.06 이면 \(H_0\) 기각'

따라서 '\(H_1\)이 참인데 \(H_0\)가 맞다'라고 하는 2종오류의 확률은 다음과 같다.

『eStatU』에서 '가설검정 μ 실험: C, β 계산'을 선택하면 [그림 7.18]과 같은 화면이 나타난다. 여기에서 \(μ_0 = 1500\), \(μ_1 = 1600\), \(σ = 200\), \(n = 30\), \(α = 0.05\)를 입력하고 [실행] 버튼을 누르면 C, β가 계산되고 [그림 7.19]와 같은 실험 창이 나타난다. 여기에서 \(μ_1\), α, n을 변화시키며 β의 변화를 관찰할 수 있다.

[Testing Hypothesis : Population Mean μ ]

🎲 예 7.7

풀이

표본평균의 표집분포이론에서 \(H_0 \)가 참일 때는 \(\small \overline X\)의 분포는 \(N(1500, \frac{200^2}{n} )\) 이고, \(H_1\)이 참일 때는 \(\small \overline X\)의 분포는 \(N(1570, \frac{200^2}{n} )\) 이다. 따라서 α = 0.05, β = 0.10, \(z_{0.05}\) = 1.645, \(z_{0.90}\) = -1.280 이므로 다음 두 식이 성립된다.

위의 두 식은 미지수가 n과 C인 연립방정식이므로 해를 구하면 n = 69.8, C = 1539.4 가 된다. 즉, 표본의 크기는 대략 70이고, 선택기준은 다음과 같다.

『eStatU』에서 '가설검정 μ 실험: C, n 계산'을 선택하면 [그림 7.20]과 같은 화면이 나타난다. 여기에서 \(μ_0 = 1500\), \(μ_1 = 1600\), \(σ = 200\), \(α = 0.05\), \(β = 0.10\)를 입력하고 [실행] 버튼을 누르면 C, n이 계산되고 [그림 7.21]과 같은 실험 창이 나타난다. 여기에서 \(μ_1\), α, β를 변화시키며 C, n의 변화를 관찰할 수 있다.

[Testing Hypothesis : Population Mean μ

풀이

품질특성값을 확률변수 \(X\)라 하자. 규격하한값이 \(L\) = 87 이므로 분산 \(\sigma^2\)이 30 (표준편차 5.4772) 일 때 정규분포 이론에서 87이하가 1%이내가 되기 위한 모평균의 값 \(\mu_0\) 를 구하기 위해서는 P(X < 87) = 0.01 을 \(Z\) 표준화하면 $$ P(Z < \frac {87 - \mu_0 } { \sqrt{30} } ) = 0.01 $$ 이므로 표준정규분포표에 따르면 \(\frac {87 - \mu_0 } { \sqrt{30} } \) = -2.33 이 되어야 한다. 그러므로 \(\mu_0 = 87 + 2.33 \sqrt{30} = 99.7684 \)가 합격되는 로트의 평균이다.

유사한 방법으로 87이하가 5%이하가 되기 위한 모평균의 값 \(\mu_1\)를 구하기 위해서는 P(X < 87) = 0.05 을 \(Z\) 표준화하여 $$ P(Z < \frac {87 - \mu_1 } { \sqrt{30} } ) = 0.05 $$ 이므로 \(\frac {87 - \mu_1 } { \sqrt{30} } \) = –1.645가 되어야 한다. 그러므로 \(\mu_1\) = 96.0146 이 불합격되는 로트의 평균이다.

따라서 로트에서 표본을 추출해 품질특성값을 측정하여 로트의 합격여부를 결정하는 문제는 두 모집단에 대한 가설 $$ H_0 : \mu = 99.7684 , H_1 : \mu = 96.0146 $$ 중 하나를 선택하는 가설검정 문제와 같다. 여기서 주어진 1종오류(좋은 로트를 불합격으로 판정하는 것: 생산자 위험)의 확률 \(\alpha\)와 2종오류(나쁜 로트를 합격으로 판정하는 것; 소비자 위험)의 확률 \(\beta\)를 이용하여 표본의 크기와 선택기준을 정하게 된다(7.4절 ‘\(\alpha\)와 \(\beta\)를 동시에 고려하는 가설검정’ 참조).

이 가설검정은 5장의 표본평균의 분포를 근거로 한 것이다. 즉, 모집단이 평균이 99.7684, 분산이 30인 정규분포라면 크기가 \(n\)인 표본평균의 분포는 \(N(99.7684, 30/n)\) 이고, 모집단이 평균이 96.0146, 분산이 30인 정규분포라면 표본평균의 분포는 \(N(96.0146, 30/n)\) 이 된다. 따라서 선택기준은 이 표본평균의 분포에 의거하여 <그림 7.21>과 같이 좋은 로트를 불합격으로 하는 확률을 \(\alpha\) = 1%로, 나쁜 로트를 합격으로 판정하는 확률을 \(\beta\) = 10% 로 하는 표본의 크기와 기준값 \(C\)를 구하는 것이다.

\(\alpha\) = 1% 라는 것은 그림과 같이 정규분포 \(N(99.7684, 30/n)\) 에서 표본평균 \(\overline X\)가 \(C\)보다 작을 확률, 즉 \(P(\overline X < C) = 0.01\)을 뜻하므로 표준화하면 $$ P(Z < \frac {C - 99.7684} {\sqrt { \frac{30}{n}} } ) = 0.01 $$ 이다. 따라서 $$ \frac {C - 99.7684} {\sqrt { \frac{30}{n}} } = -2.33 $$ 이 되어야 한다. 비슷하게 \(\beta\) = 10% 라는 것은 그림과 같이 정규분포 \( N(96.0146, 30/n) \)에서 표본평균 \(\overline X\)가 \(C\)보다 클 확률, 즉 \(P(\overline X > C) = 0.10 \)을 뜻하므로 표준화하면 $$ P(Z > \frac {C - 96.0146} {\sqrt { \frac{30}{n}} } ) = 0.10 $$ 이다. 따라서 $$ \frac {C - 96.0146} {\sqrt { \frac{30}{n}} } = 1.28 $$ 이 되어야 한다. 위의 두 식을 \(C\)와 \(n\)에 관한 연립방정식으로 풀면 표본의 크기는 \(n\) = 27.77이고, 기준값은 \(C\) = 97.3457 이 된다. 즉, 선택기준은 크기가 대략 28인 표본의 표본평균을 구하여 $$ \text {‘만일 표본평균이 } \overline X < 97.3457, \text {이면 로트는 불합격, 아니면 합격’} $$ [Testing Hypothesis : Population Mean μ